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《离散数学 第8章 习题解答》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第8章习题解答8.1图8.6中,(1)所示的图为(2)所示的图为(3)所示的图为它们分别各有不同的同构形式.8.2若G为零图,用一种颜色就够了,若G是非零图的二部图,用两种颜色就够了.分析根据二部图的定义可知,n阶零图(无边的图)是三部图(含平凡图),对n阶零图的每个顶点都用同一种颜色染色,因为无边,所以,不会出现相邻顶点染同色,因而一种颜色就够用了.8.3完全二部图中的边数.分析设完全二部图的顶点集为V,则,且是简单图,且中每个顶点与中所有顶点相邻,而且中任何两个不同顶点关联的边互不相同,所以,边数.8.4完全二部图中匹配数,
2、即等于中的小者.分析不妨设且二部图中,由Hall定理可知,图中存在到的完备匹配,设M为一个完备匹配,则中顶点全为M饱和点,所以,8.5能安排多种方案,使每个工人去完成一项他们各自能胜任的任务.分析设,则为工人集合,,则为任务集合.令,得无向图,则G为二部图,见图8.7所示.本题是求图中完美匹配问题.给图中一个完美匹配就对应一个分配方案.图8.7满足Hall定理中的相异性条件,所以,存在完备匹配,又因为所以,完备匹配也为完美匹配.其实,从图上,可以找到多个完美匹配.取此匹配对应的方案为甲完成a,乙完成b,丙完成c,见图中粗边所示的
3、匹配.对应的分配方案为甲完成b,乙完成a,丙完成c.请读者再找出其余的分配方案.8.6本题的答案太多,如果不限定画出的图为简单图,非常容易地给出4族图分别满足要求.(1)n(n为偶数,且)阶圈都是偶数个顶点,偶数条边的欧拉图.(2)n(n为奇数,且)阶圈都是奇数个顶点,奇数条边的欧拉图.(3)在(1)中的圈上任选一个顶点,在此顶点处加一个环,所务图为奇数个顶点,偶数条边的欧拉图.分析上面给出的4族图都是连通的,并且所有顶点的度数都是偶数,所以,都是欧拉图.并且(1),(2)中的图都是简单图.而(3),(4)中的图都带环,因而都是
4、非简单图.于是,如果要求所给出的图必须是简单图,则(3),(4)中的图不满足要求.其实,欧拉图是若干个边不重的图的并,由这种性质,同样可以得到满足(3),(4)中要求的简单欧拉图.设是长度大于等于3的k个奇圈(长度为奇数的圈称为奇圈),其中k为偶数,将中某个顶点与中的某顶点重合,但边不重合,中某顶点与中某顶点重合,但边不重合,继续地,最后将中某顶点与中某顶点重合,边不重合,设最后得连通图为G,则G中有奇数个顶点,偶数条边,且所有顶点度数均为偶数,所以,这样的一族图满足(4)的要求,其中一个特例为图8.8中(1)所示.在以上各图中
5、,若中有一个偶圈,其他条件不变,构造方法同上,则所得图G为偶数个顶点,奇数条边的简单欧拉图,满足(3)的要求,图8.8中(2)所示为一个特殊的情况.8.7本题的讨论类似于8.6题,只是将所有无向圈全变成有向圈即可,请读者自己画出满足要求的一些特殊有向欧拉图.8.8本题的答案也是很多的,这里给出满足要求的最简单一些图案,而且全为简单图.(1)()阶圈,它们都是欧拉图,又都是哈密尔顿图.(2)给定()个长度大于等于3的初级回路,即圈,用8.6题方法构造的图G均为欧拉图,但都不是哈密尔顿图,图8.8给出的两个图是这里的特例.(3)()
6、阶圈中,找两个不相邻的顶点,在它们之间加一条边,所得图均为哈密尔顿图,但都不是欧拉图.(4)在(2)中的图中,设存在长度大于等于4的圈,比如说,在中找两个不相邻的相邻顶点,在它们之间加一条新边,然后用8.6题方法构造图G,则G既不是欧拉图,也不是哈密尔顿图,见图8.9所示的图.分析(1)中图满足要求是显然的.(2)中构造的图G是连通的,并且各顶点度数均为偶数,所以,都是欧拉图,但因为G中存在割点,将割点从G中删除,所得图至少有两个连通分支,这破坏了哈密尔顿图的必要条件,所以,G不是哈密尔顿图.(3)中构造的图中,所有顶点都排在一
7、个圈上,所以,图中存在哈密尔顿回路,因而为哈密尔顿图,但因图中有奇度顶点(度数为奇数的顶点),所以,不是欧拉图.由以上讨论可知,(4)中图既不是欧拉图,也不是哈密尔顿图.其实,读者可以找许多族图,分别满足题中的要求.8.9请读者自己讨论.8.10其逆命题不真.分析若D是强连通的有向图,则D中任何两个顶点都是相互可达的,但并没有要求D中每个顶点的入度都等于出度.在图8.2所示的3个强连通的有向衅都不是欧拉图.8.11除不是哈密尔顿图之外,()全是哈密尔顿图.(n为奇数)为欧拉图.规定(平凡图)既是欧拉图,又是哈密尔顿图.分析从哈密
8、尔顿图的定义不难看出,n阶图G是否为哈密尔顿图,就看是否能将G中的所有顶点排在G中的一个长为n的初级回路,即圈上.()中存在多个这样的生成圈(含所有顶点的图),所以()都是哈密尔顿图.在完全图中,各顶点的度数均为n-1,若为欧拉图,则必有为偶数,即n为奇数,于是
