在冲力作用下台球运动的力学分析

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1、在冲力作用下台球运动的力学分析李洁（西北师范大学继续教育学院物理学专业［06级］）摘要：作为刚体运动的例证，讨论了在冲力作用下台球的运动情形，计算了在不同的击打条件下，台球进入无滑滚动状态的绕质心转动的速度。关键词：刚体运动；冲量；摩擦力；台球中图分类号：O313.3文献标识码：B在冲力作用下，台球在水平桌面上的奇妙运动，使许多人感到极大兴趣，其实，台球在桌面上的运动就是小球的质心平动和绕质心转动的两种运动的合成，它是刚体运动的一个可以重复试验的极好的例证。在台球作复杂而奇妙的运动中，粗糙的桌面

2、对台球的摩擦力起着重要的作用。下面，我们对台球的运动作力学分析。FNFhCyRFfOxMg图1沿水平方向击打台球的上半部如图1所示，一个质量为M、半径为R的匀质实心球静止在水平桌面上，用球杆沿水平方向击打小球的上半部，设冲力F沿水平方向距球心C的距离为h，台球受到的冲量为，沿x正方向，因此击打施于台球沿顺时针方向的冲量矩为J=Ph，另外台球还受到竖直向下的重力Mg和竖直向上的正压力FN的作用。根据刚体质心运动的动量定理和动量矩定理可知，球心获得沿x正向的平动速度u0和顺时针转动的角速度分别满足以

3、下关系（以下的讨论均已化为标量的关系）：，（1）我们规定沿顺时针的转动方向为正方向，式中为球对质心的转动惯量，台球与桌面接触点的速度V0为（2）将式（1）代入式（2），则得（3）由式（3）可见，当h=0.4R时，V0=0，这时球心的速度与滚动角速度满足不滑动的判据，因此，滑动摩擦力不存在，只有相对滑动摩擦力很小的滚动摩擦力，于是小球将沿x正方向匀速地持续滚动下去。当h≠0.4R时，V0≠0，小球将作有滑滚动。下面我们分别对h>0.4R和h<0.4R两种情形下小球的运动进行讨论。1）h>0.4R的

4、情形由式（3）可知，在这种情形下，小球与桌面的接触点的速度V0<0，即台球沿负x方向滑动，因此，小球受到沿x方向的摩擦力Ff，即这时Ff施于球心沿逆时针方向的力矩为FfR。根据刚体的质心运动定理和相对于质心的动量矩定理，质心的加速度和角加速度分别为（4）则在t时刻台球质心的速度u和绕质心的转动角速度分别为即（5）因此在t时刻，小球与桌面的接触点的速度V(t)为（6）接触点的速度V(t)随t的增加逐渐由负值变为零，由式（6）可求出V=0的时刻t0为（7）当t≥t0时，台球开始作无滑的顺时针滚动，沿

5、x正向前进。由式（5）可求得台球的质心沿x正向运动的速度为（8）沿顺时针方向转动的角速度为（9）2）h<0.4R的情形由式（3）可知，接触点的速度V0>0，桌面对小球的摩擦力朝负x方向，，因此小球的质心作减速运动，同时，Ff施于球心沿顺时针方向的力矩为FfR，根据刚体的运动定理，质心平动的加速度和角速度分别为(10)则在t时刻，球心的速度u(t)和绕球心沿顺时针方向的转动角速度分别为（11）小球与桌面接触点的速度为当既滑又滚的运动经过一段时间后，V=0，由上式可求得为（12）`当t≥时，小球作无

6、滑的纯滚动，其质心速度和转动角速度可由式（12）代入式（11）求得，其结果和式（9）、式（8）相同。FNCyRFOFfxMg图2沿水平方向击打台球的下半部h由上面分析可以看出，当水平方向的冲力F距球心的高度h=0.4R时，台球作纯滚动，转动的角速度与冲量P成正比，当水平方向的冲力F作用的高度h≠0.4R时，台球首先作既滑又滚的运动，经过一定的时间t0、后，在桌面对台球摩擦力的作用下，都将转变为角速度相同的纯滚运动，转动的角速度都与冲量P的成正比。用球杆沿水平方向击打台球的下半部，如图2所示，和前

7、面一样，我们仍规定沿水平方向的冲力F的方向为x轴的正方向，冲力F沿水平方向距球心的距离为h。击打后，台球的球心获得的初始速度u0和绕球心转动的初始角速度与式（1）形式相同；，，不同的是，这时的初始角速度沿逆时针方向转动，是负的转动方向，因此，为负值。这时台球与桌面接触点的速度为（13）显然接触点沿x正向滑动，作用于台球的摩擦力指向负x方向，因此，摩擦力，摩擦力施于相对于球心的力矩FfR，为顺时针转动方向。根据刚体的质心运动定理和相对于质心的动量矩定理，有t时刻台球球心的平动速度u(t)和绕球心转

8、动的角速度分别为（14）即（15）由上式可知，在较早的时刻，u(t)>0，台球沿x正向运动，到了时刻，球心速度u(t1)=0，此后，u(t)<0，沿x负向退行。同样，在较早的时刻，台球作逆时针方向转动，<0，到了时刻，转动的角速度=0，此后，台球沿顺时针方向转动。显然t1>t2，因此在t1>t>t2的这段时间内，台球沿x正向前进，相对于球心作顺时针方向转动，在这段时间内，必有某个时刻，台球的平动和转动相配合，使球与桌面的接触点的速度V=0，即（16）则（17）在时刻，台球开始作无滑滚动，沿x正向