第七章 多自由度系统的复模态理论基础

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1、第七章多自由度系统的复模态理论基础§7.1概述当多自由度系统的质量矩阵、刚度矩阵、阻尼矩阵都是实对称正定阵，且满足下列条件之一：（7－1）则在系统的主模态空间中，系统的质量矩阵、刚度矩阵、阻尼矩阵是完全解耦的。当结构的阻尼矩阵可以假设为比例阻尼或者满足上面的解耦条件时，可以采用实模态理论进行振动分析，即用实模态构成的模态坐标变换式对方程进行坐标变换，使方程解耦后，采用模态叠加法进行动力学响应计算。但是对于一般的线性阻尼系统，系统的振动方程无法用实模态矩阵进行解耦。要仿照结构的实模态分析理论对结构用模态叠加法进

2、行分析，就必须采用所谓的复模态理论在复模态空间来对结构进行解耦。本章介绍一种状态空间的复模态理论。§7.2复模态的概念线性多自由度有阻尼系统的自由振动方程为：（7－2）设其解为：（7－3）代入方程（7－2）得到：（7－4）矩阵称为系统的特征矩阵。方程（7－4）是一个“二次特征值”问题，要（7－4）式有非零解的充要条件为：（7－5）上方程是一个关于的次代数方程，有个特征根，通常都是复数，由于阻尼矩阵的正定性，而且由于质量矩阵、刚度矩阵、阻尼矩阵都是实数矩阵，一定具有负的实部，且共轭成对出现。与复特征值对应的特征

3、矢量也都是共轭复数形式。每一对共轭复数特征根，都对应着系统中具有的特定频率与衰减率的一种衰减振动。假定系统无重特征值，则系统的各个特征运动可以表示为：（7－6）系统的个复模态——复特征矢量，可以构成一个在系统位形空间的阶的矩阵，称为复模态矩阵：（7－7）由于系统在位形空间中的物理坐标只有个，而复模态却有个，所以不能用（7－7）的复模态矩阵对（7－1）中的进行坐标变换，来对方程（7－1）进行解耦。为了解决这个困难，我们将（7－1）式转换到状态空间：（7－8）其中：（7－9）（7－10）称为系统的状态变量，系统在

4、状态空间的自由振动方程为：（7－11）设其特征解为：（7－12）代入方程（7－11），得到：（7－13）其特征方程为：（7－14）将的定义式代入：（7－15）即：（7－16）由于正定，所以有：（7－17）与（7－4）比较可知:（7－18）故（7－12）式可以写为：（7－19）又因为：（7－20）所以有：（7－21）即在状态空间中，对应于复特征根的特征向量为：（7－22）它被定义为系统在状态空间中的第阶复模态。§7.3复模态的正交性及其归一化对应于复特征对，系统的特征方程分别为：（7－23）（7－24）用左乘（

5、7－23）式，并用左乘（7－24）式并转置得到：（7－25）（7－26）上两式相减得到：（7－27）由此得到复模态对和的加权正交关系如下：当（7－28）当时，则有：（7－29）且有（7－30）而：（7－31）令：（7－32）并将（7－31）式做为复模态的归一化条件，为第r阶归一化复模态。显然，对于阵有：（7－33）§7.4求解振动响应的复模态叠加法与实模态分析相同，利用系统在复模态空间中的复模态矩阵：（7－34）对状态向量进行模态坐标变换；（7－35）将（7－35）代入（7－8），并前乘得到个完全解耦的方程：

6、（7－36）其中，（7－37）或写成：（7－38）因为：（7－39）所以：（7－40）而：（7－41）在零初始条件下，（7－40）的解为：（7－42）因为：（7－43）其中，所以：（7－44）当激励力为复简谐力时，（7－45）则：（7－46）项代表随时间衰减的自由振动项，因此，如果只考虑稳态响应，则：（7－47）