非线性时频分析不确定性原理和核函数

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1、对非线性时频分析中的不确定性原理和核函数的小结信号分析的目的是通过对某信号进行变换，从该信号抽取有关的信息。信号一般用时间作自变量来表示。通过常规的Fourier变换，信号也可以分解为不同的频率分量，也就是说，信号可以使用频率作为自变量来表示，称之为频谱。但是Fourier变换只是一种整体变换，即对信号的表征要么完全在时域，要么完全在频域。作为频域表示的功率谱并不能告诉人们其中某种频率分量出现在什么时候及其变化情况。然而，在许多实际应用场合，信号是时变的，非平稳的，即其统计量（如相关函数、功率谱等）是时变函

2、数。为此，需要使用时间和频率的联合函数来表示信号，即对信号的时频表示（TFD）。信号的时频表示分为线性和非线性表示两种。线性时频表示遵循线性叠加原理，典型的有：短时Fourier变换、小波变换和Gabor变换等。非线性时频表示，又称为二次型或双线性时频表示。这是从时间---频率能量分布（或瞬时功率谱）的角度来理解时频表示的。因为能量本身就是二次型信号表示，而二次型或双线性变换不再遵循线性叠加原理，即当把两个信号相加时，波形可以相加，但是采用二次型的时频表示时，就会有各种干扰（如信号间的交叉干扰）对原频率产生

3、不同的加权，在数学上，就反映在能量密度频谱和的绝对平方。能量化的时频表示把瞬时功率和谱能量密度综合在一起，从理论上讲，这一能量化的解释是用时频分布的边缘特性：来表示的，即一维能量密度与是时频表示的边缘密度。因此，信号的能量可以通过在整个时---频平面上将积分来得到。因此，对于任何一种实际和有用的非平稳信号分析，通常要求时频分布具有表示信号能量分布的特性，即时频分布的非负性和边缘特性。作为能量的测度，时频分布至少应该是实的。边缘特性可以保证信号的总能量（如平均时间、平均功率、时宽和带宽）正确给定。非负性可以进

4、一步保证分布的条件期望是切合实际的和物理可解释的。这两者一起就可以保证时频分布准确反映信号的谱能量、瞬时功率和总能量。也就保证了所有实际有用的时频分布必须遵循物理学和信号分析领域中任何两个相互联系的、算子不可对易的两个变量之间应该满足的一个基本原理——不确定性原理。即对应于量子物理学中位置偏差和动量偏差满足：；在信号的时频分布分析中的时宽（或称时间分辨率）和带宽（或称频率分辨率）应满足：。这也就告诉人们既有任意小的时间分辨率，又有任意小的频率分辨率的时频分布是不可能存在的。如：冲激信号的时宽为0，而其带宽为

5、无穷大（其频谱恒等于1）；单位直流信号的带宽为0（其频谱为冲激函数），但其时宽为无穷大。对于不同的时变信号，需要不同类型的时频分布，从而出现了许多种时频分布。为了对各种时频分布的共同性质进行分析和研究，人们在时频分布中引入了核函数。因此时频分布就有了一个普遍的表示形式：不同的时频分布只是体现在积分变换核函数形式的选择上，而对于时频分布各种性质的要求则反映在对核函数的约束条件上。简单地说，用核函数表示时频分布具有三个优点：①通过约束核可以得到并研究具有确定特性的分布；②分布的特性可以由核来确定；③给定了核，分

6、布就易产生。核函数可以为频率和时间以及信号显式的一个函数，即。如果要在符号表示上明显，则可以写成以满足可能的相关性。作为时频分布的核函数，必须满足以下基本条件：①边缘特性：（对于时间边缘）（对于频率边缘）②总能量特性（设总能量归一化为一）：③不确定性原理：产生边缘的任何联合分布将产生信号的不确定性原理，因而满足不确定性原理的条件是必须正确地给出两个边缘。用核函数表示就是：与④实性：为了使分布是实的，则应有：⑤要满足移位——尺度不变则核函数应选择乘积核，即：⑥当时，就得到常用的Wigner—Villey时频分

7、布。