非平稳信号分析与处理

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1、《非平稳信号分析与处理》组长：讲课安排：第一小组：(1-4节)第二小组：（5-8节）2时频表示与时频分布本章主要内容：讨论非平稳信号的时－频分析，包括分析的有关概念短时傅立叶变换、Wigner分布及Cohen类分布。重点是Wigner的性质、Wigner分布的实现、Wigner分布中交叉项的行为及Cohen分布中核函数对交叉项的抑制等。14时频表示与时频分析的提出分析与处理平稳信号最常用的数学工具是Fourier分析。它建立了信号从时域到频域变换的桥梁。它表征了信号从时域到频域的一种整体（全局）变换。在许多实际应用中

2、，信号大多是非平稳的，其统计量（如均值、相关函数、功率谱等）是时变的，这时采用传统的Fourier变换并不能反映信号频谱随时间变化的情况，需引入新的处理信号的数学工具，时频表示和时频分析是源于考虑信号的局部特性而引入的。时频表示：用时间和频率的联合函数来表示信号，记作T（t，f）。时频分析：能够描述信号的能量密度分布的时频表示称为时频分析，记作P（t，f）。典型的线性时频表示有：短时Fourier变换、小波变化和Gabor变换。2．1基本概念1．传统的Fourier变换及反变换：S（f）=14s（t）=2．解析信号与

3、基带信号⑴定义（解析信号）：与实信号s（t）对应的解析信号（analyticsignal）z（t）定义为z（t）=s（t）+jн[s（t）]，其中н[s（t）]是s（t）的Hilbert变换。实函数的Hilbert变换的性质：若x(t)=н[s(t)]则有s(t)=-н[x（t）]s(t)=-н2[x（t）]⑵实的调频信号a（t）cos对应的解析信号为z（t）=a（t）cos+jн[a（t）cos]=A（t）（2.1）⑶任何一个实调幅-调频信号a（t）cos的解析信号若满足一定的条件，就可写成式(2.1)所示的形式。

4、⑷实窄带高频信号s（t）=a（t）cos[2πf0t+]的解析信号为z（t）=a（t）（2.2）将上式乘以，即经过向左频移f0成为零载频，其结果称为基带信号zB（t）=a（t）14它是解析信号的复包络，也是解析信号的频移形式，因此在时频分析中和解析信号具有相同的性质。⑸高频窄带信号的实信号、解析信号和基带信号的比较及其转换。3．瞬时频率和群延迟⑴瞬时频率fi信号s（t）=a（t）cos的瞬时频率定义为可以看出它为解析信号的相位的导数。物理意义：把解析信号z（t）表示为复平面的一向量，则瞬时频率即为向量幅角的转速。⑵群

5、延迟τg（f）频率信号的群延迟定义为τg（f）=物理意义：设零相位的信号加有一线性相位，则信号做不失真延迟，其延迟时间为该线性相位特性的负斜率。需要指出的是，瞬时频率和群延迟可以描述非平稳信号的时频局域特性，但它们只能用于理想的单分量信号场合。4．不确定性原理对有限能量的零均值复信号z（t），其有限宽度T=和频谱Z（f）的有限宽度B=分别称为该信号的时宽和带宽，并定义为：T2==和B==14对信号z（t）沿时间轴做拉伸zk（t）=z（kt），由时宽定义可求得拉伸信号是原信号时宽的k倍，即；类似地，可求出拉伸信号的带宽

6、是原信号带宽的,即。由此可见==常数，这一结论说明对任何信号恒有TB=常数的可能性。命题：（不确定性原理）对于有限能量的任意信号，其时宽和带宽的乘积总满足不等式：时宽-带宽乘积=TB=≥或TB=≥不确定性原理也称测不准原理或Heisenberg不等式，式中的Δt和Δf分别称为时间分辨率和频率分辨率，表示两时间点和两频率点之间的区分能力。重要意义：既有任意小的时宽，又有任意小的带宽的窗函数是根本不存在的。2．2短时Fourier变换线性时频表示：满足叠加原理或线性原理，如：z（t）=c1z1（t）+c2z2（t）→Tz

7、（t，f）=c1Tz1（t，f）+c2Tz2（t，f）1．连续短时Fourier变换⑴定义：给定一个时间宽度很短的窗函数γ（t），令窗滑动，则信号z（t）的短时Fourier变换定义为STFTz（t，f）=（2.3）14可以看出，由于窗函数γ（t）的移位使短时Fourier变换具有选择局域的特性，它既是时间的函数，又是频率的函数，对于一定的时刻t，STFTz（t，f）可视为该时刻的“局部频谱”。⑵信号完全重构的条件：重构就是由STFTz（t，f）求出原信号z（t）的过程p（u）=（2.4）===z(u)=z(u)显然

8、，为了实现信号的“完全重构”，则需窗函数满足如下条件：=1（2.5）才能使p(u)=z(u)。可以看出，满足式（2.5）的窗函数很多，如何选择将取决于所研究信号的局域平稳特性。这里有三种最简单的选择：①g(t)=γ(t)②g(t)=(t)③g(t)=1当取条件①时，完全重构条件成为14=1即所谓能量归一化，这时式（2.4）可写成：z(t)=（2