第8讲 矩阵的直积及其应用

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1、第8讲矩阵的直积及其应用内容：1.矩阵直积的定义与性质2.矩阵直积在解矩阵方程中的应用矩阵直积（Kronecker积）在矩阵论及系统控制等工程研究领域有十分重要的应用．运用矩阵直积运算，能够将线性矩阵方程转化为线性代数方程组．§1矩阵直积的定义与性质1.1矩阵直积定义1.1设，，称如下的分块矩阵为与的直积（Krionecker积，张量积），记为．是一个个块的分块矩阵，简写为．显然与为同阶矩阵，但一般，即矩阵的直积不满足交换律.对单位矩阵，有.例1.1设，，则，.定义1.2若，则，称为向量与的外积.1.2矩阵直积的性质定理1.1矩阵的

2、直积具有如下基本性质：（1）；（2）；（3），；（4）；（5）；（6）若则，若，，则；（7）若，均可逆，则可逆，且；（8）若和都是对角矩阵、上（下）三角矩阵、实对称矩阵、Hermite矩阵、正交矩阵、酉矩阵，则也分别是这种类型的矩阵.定义1.3二元复系数多项式为，若矩阵，，则阶矩阵，其中，.定理1.2设，，的特征值为，的特征值为，则的全体特征值为，．证明由Schur定理知存在酉矩阵使得，，其中，为上三角矩阵，由定理1.1知，为酉矩阵，为上三角矩阵，则也是上三角矩阵.且与有相同的特征值.则的对角元即为的全部特征值.因为，．因此，的对角

3、元为，．推论1.1设的特征值为，的特征值为，则（1）的特征值为，；（2）的个特征值为，，；（3）；（4）.定理1.3设，则．证明记，，有相应阶数的可逆矩阵使得，则，由，可逆，则．§2矩阵直积在解矩阵方程中的应用2.1矩阵的拉直定义2.1设，，，令，称为矩阵的列拉直．矩阵也可以按行拉直为行向量，记作，有,．定理2.1设，则．证明记，则，而故．推论2.1设，则（1）；（2）；（3）2.2线性矩阵方程在系统控制等工程领域，经常遇到矩阵方程（Lyapunov型方程）的求解问题，其中，，为已知常数矩阵，为未知矩阵.利用矩阵的直积和拉直，可以给

4、出线性矩阵方程的可解性及解法.一般的线性矩阵方程可表示为，其中为已知常数矩阵，未知矩阵.定理2.2线性矩阵方程有解的充分必要条件是，其中，，为已知常数矩阵，未知矩阵.证明有解，有解有解，有解定理2.3设的特征值为，的特征值为，则矩阵方程有唯一解的充要条件是，，其中，，为已知常数矩阵，为未矩阵．证明有唯一解，有唯一解有唯一解的特征值不为零推论2.1设的特征值为，的特征值为，则矩阵方程有非零解的充分必要条件是存在与，使，．推论2.2设，则矩阵方程有唯一解的充分必要条件是时必有，其中为的谱，为的共轭复数.定理2.4设的特征值为，的特征值为

5、，则矩阵方程有唯一解的充分必要条件是，．其中为已知常数矩阵，为未知矩阵．定理2.5若矩阵方程中矩阵的所有特征值具有负实部（称这类矩阵为稳定矩阵），则该矩阵方程有唯一解，其中，，为已知常数矩阵，为未知矩阵．证明设的特征值为，存在可逆矩阵，使，其中，取0或1．则，这里，为单位上三角矩阵，它的非零元素的形式为.设的特征值为，类似可得出，存在可逆矩阵，，其中，为单位上三角矩阵，它的非零元素的形式为．因的右端乘积矩阵的元素都是因子的关于的多项式倍数的组合，且积分存在．令，则，．两边求积分，可得，即．也就是的解，因积分存在，且的所有特征值实部为

6、负，则，．唯一性可由定理2.3得出.推论2.3设的特征值满足，则方程的唯一解为．如果为Hermite正定矩阵，则解矩阵也是Hermite正定矩阵．证明只需证明后一结论即可.当时，有．且对，由于可逆，则，于是当正定时，有，从而有，故为正定矩阵．