第8讲 矩阵的直积及其应用

第8讲 矩阵的直积及其应用

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1、第8讲矩阵的直积及其应用内容:1.矩阵直积的定义与性质2.矩阵直积在解矩阵方程中的应用矩阵直积(Kronecker积)在矩阵论及系统控制等工程研究领域有十分重要的应用.运用矩阵直积运算,能够将线性矩阵方程转化为线性代数方程组.§1矩阵直积的定义与性质1.1矩阵直积定义1.1设,,称如下的分块矩阵为与的直积(Krionecker积,张量积),记为.是一个个块的分块矩阵,简写为.显然与为同阶矩阵,但一般,即矩阵的直积不满足交换律.对单位矩阵,有.例1.1设,,则,.定义1.2若,则,称为向量与的外积.1.2矩阵直积的性质定理1.1矩阵的

2、直积具有如下基本性质:(1);(2);(3),;(4);(5);(6)若则,若,,则;(7)若,均可逆,则可逆,且;(8)若和都是对角矩阵、上(下)三角矩阵、实对称矩阵、Hermite矩阵、正交矩阵、酉矩阵,则也分别是这种类型的矩阵.定义1.3二元复系数多项式为,若矩阵,,则阶矩阵,其中,.定理1.2设,,的特征值为,的特征值为,则的全体特征值为,.证明由Schur定理知存在酉矩阵使得,,其中,为上三角矩阵,由定理1.1知,为酉矩阵,为上三角矩阵,则也是上三角矩阵.且与有相同的特征值.则的对角元即为的全部特征值.因为,.因此,的对角

3、元为,.推论1.1设的特征值为,的特征值为,则(1)的特征值为,;(2)的个特征值为,,;(3);(4).定理1.3设,则.证明记,,有相应阶数的可逆矩阵使得,则,由,可逆,则.§2矩阵直积在解矩阵方程中的应用2.1矩阵的拉直定义2.1设,,,令,称为矩阵的列拉直.矩阵也可以按行拉直为行向量,记作,有,.定理2.1设,则.证明记,则,而故.推论2.1设,则(1);(2);(3)2.2线性矩阵方程在系统控制等工程领域,经常遇到矩阵方程(Lyapunov型方程)的求解问题,其中,,为已知常数矩阵,为未知矩阵.利用矩阵的直积和拉直,可以给

4、出线性矩阵方程的可解性及解法.一般的线性矩阵方程可表示为,其中为已知常数矩阵,未知矩阵.定理2.2线性矩阵方程有解的充分必要条件是,其中,,为已知常数矩阵,未知矩阵.证明有解,有解有解,有解定理2.3设的特征值为,的特征值为,则矩阵方程有唯一解的充要条件是,,其中,,为已知常数矩阵,为未矩阵.证明有唯一解,有唯一解有唯一解的特征值不为零推论2.1设的特征值为,的特征值为,则矩阵方程有非零解的充分必要条件是存在与,使,.推论2.2设,则矩阵方程有唯一解的充分必要条件是时必有,其中为的谱,为的共轭复数.定理2.4设的特征值为,的特征值为

5、,则矩阵方程有唯一解的充分必要条件是,.其中为已知常数矩阵,为未知矩阵.定理2.5若矩阵方程中矩阵的所有特征值具有负实部(称这类矩阵为稳定矩阵),则该矩阵方程有唯一解,其中,,为已知常数矩阵,为未知矩阵.证明设的特征值为,存在可逆矩阵,使,其中,取0或1.则,这里,为单位上三角矩阵,它的非零元素的形式为.设的特征值为,类似可得出,存在可逆矩阵,,其中,为单位上三角矩阵,它的非零元素的形式为.因的右端乘积矩阵的元素都是因子的关于的多项式倍数的组合,且积分存在.令,则,.两边求积分,可得,即.也就是的解,因积分存在,且的所有特征值实部为

6、负,则,.唯一性可由定理2.3得出.推论2.3设的特征值满足,则方程的唯一解为.如果为Hermite正定矩阵,则解矩阵也是Hermite正定矩阵.证明只需证明后一结论即可.当时,有.且对,由于可逆,则,于是当正定时,有,从而有,故为正定矩阵.

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