兰彻斯特模型与战争的胜负

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1、《数学实验》报告题目：兰彻斯特模型与战争的胜负学生姓名：XXX学号：专业班级：XXXX0000班20XX年XX月XX日一、问题背景与提出1915年，在第一次世界大战期间，英国工程师F.W.兰彻斯特在率先提出用常微分方程组描述敌对双方兵力消灭过程，定性地说明了集中兵力的原理，建立了兰彻斯特原理——通过应用数学方法研究敌对双方在战斗中的武器、兵力消灭过程的一门理论。1945年，J.H.恩格尔撰文肯定了兰彻斯特定律的实践意义。他根据在第二次世界大战中美军攻占日军防守的琉璜岛之役的作战数据,计算了各方的消灭率系数,且用这两个系数结合美军的兵力增补率构成一个特殊的兰彻斯特方程。它的数值解相当准确

2、地与该次作战中的实际兵力变化进程相吻合。从此，这门理论得到不断发展。它主要研究两类问题：一是作战对抗过程的描述，即根据典型的对抗态势和火力条件建立兵力消灭过程的微分方程组及其解法，借以预测作战进程和获胜条件；二是战术策略的优化，即寻找投入兵力、分配火力和支援保障行动等的最优策略序列。本文的目的即借助兰彻斯特战斗模型来讨论在不同的对抗态势和火力条件下，分析方程解x（t）、y（t）的变化，进而探索双方在战争中胜利的条件。二、实验目的1.利用高等数学知识建立数学模型求解实际问题。2.利用Mathematica辅助求解问题，并能够利用Mathematica进行基本的数学模拟。3.借助最基本的兰

3、彻斯特战斗模型来讨论在不同的战斗力的投入和火力条件下，分析方程解x（t）、y（t）的变化，探索双方在战争中胜利的条件，并选出最佳的策略。一、实验原理与数学模型实验原理：兰彻斯特战斗模型某方兵力的净变化率：dx(t)dt=-自然损失率+作战损失率+补充率一般来说三个兰彻斯特传统战争模型为以下三个微分方程组：常规战：dxdt=-ax-by+Ptdydt=-cx-dy+Q(t)游击战：dxdt=-ax-gxy+P(t)dydt=-dy-hxy+Q(t)常规、游击战混合型：dxdt=-ax-gxy+P(t)dydt=-cx--dy+Q(t)式中：a、b、c、d、e、f、g、h是非负损失率常数，

4、其中b、c、g、h为战斗有效系数，P(t)、Q(t)为战时战斗（兵员）的补充率，x0、y0为交战双方的初始战斗力。为了方便讨论，进一步简化兰彻斯特战争模型，我们假定双方为两支孤立的作战部队（P(t)、Q(t)为战时战斗（兵员）的补充率为零）。故，对于常规战，设其自然损失率为零（a=0、d=0），孤立作战（P(t)=0、Q(t)=0），所以其模型可简化为：dxdt=-bydydt=-cx（1）对于游击战，其模型可简化为：dxdt=-gxydydt=-hxy（2）对于游击——常规混合战，其模型可简化为：dxdt=-gxydydt=-cx（3）一、实验内容（要点）实验一：常规战1.（方法一）

5、直接通过x（t），y（t）的关系来判断：求解描述两军队的微分方程：(DSolve[{x^'[t]==-b*y[t],y^'[t]==-c*x[t],x[0]==x0,x^'[0]==-b*y0},{x[t],y[t]},t]/)/Simplify可得结果：x[t]→12cⅇ-bct(c(1+ⅇ2bct)x0-b(-1+ⅇ2bct)y0)（4）yt→12bⅇ-bct-c-1+ⅇ2bctx0+b1+ⅇ2bcty0（5）我们令β=b*c；γ=bc，因而上式可以化简为：xt=x0coshβt-γy0sinh⁡(βt)（6）yt=y0coshβt-x0γsinh⁡(βt)（7）当t→∞时，y(t

6、)→eβt(y0-x0γ)，因此我们可以看出当γy0>x0时，y军队才有可能胜利，否则，x军队将获得胜利。2.（方法二）利用相平面分析法：我们可以将模型（1）的两个方程先相除并对x、y求变上限积分，于是可以得到：by2-cx2=by02-cx02=k（8）由于两军队兵力一方为零时即失败，则我们可以在第一象限讨论两军实力的变化。从方程我们可以看出dxdt<0；dydt<0；因此，随着时间t的延长，x与y的变化关系我们可以利用Mathematica来绘制出（代码略）：图1常规战中相同兵力(x0=y0=100)下不同战斗有效系数对后期影响的相平面图图2常规战中相同战斗有效系数(b=c=1)下

7、不同初始兵力对后期影响的相平面图由多组数据绘制出的相平面图可以得出，无论是初始兵力相同以两军队战斗有效系数作为影响因子（图1）还是令战斗有效系数相同将两军队的初始兵力作为影响因子（图2），其结果最终取决于k值的正负，当k>0时总有y军队获胜，而当k<0时总有x军队获胜，由（8）式可知，k>0则有by02>cx02，也可以表示为：(y0x0)2>cb(9)从(9)式我们可以明显地看出两军的初始兵力的比例y0x0的变化被平方地放大——兰彻斯特平方规