近年北大清华自主招生试题汇编

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1、走向数学高端新浪汤永臣的博客邮箱tshuxue101@163.com近几年北大清华自主招生试题汇编2010北大自主招生（三校联招）1．（仅文科做），求证：．（25分）2．为边长为的正五边形边上的点．证明：最长为．（25分）3．为上在轴两侧的点，求过的切线与轴围成面积的最小值．（25分）4．向量与已知夹角，，，，，．在时取得最小值，问当时，夹角的取值范围．（25分）5．（仅理科做）存不存在，使得为等差数列．（25分）2009北大自主招生数学试题　　1圆内接四边形ABCD，AB=1，BC=2，CD=3，DA=4。求圆半

2、径。　　2已知一无穷等差数列中有3项：13，25，41。求证：2009为数列中一项。　　3是否存在实数x使tanx+（根3）与cotx+（根3）为有理数？　　4已知对任意x均有acosx+bcos2x>=-1恒成立，求a+b的最大值5某次考试共有333名学生做对了1000道题。做对3道及以下为不及格，6道及以上为优秀。问不及格和优秀的人数哪个多？2008北大自主招生数学试题1 求证：边长为1的正五边形对角线长为2  已知六边形AC1BA1CB1中AC1=AB1,BC1=BA1,CA1=CB1,∠A+∠B+∠C=∠A

3、1+∠B1+∠C1  求证△ABC面积是六边形AC1BA1CB1的一半。3已知5高屋建瓴纲举目张走向数学高端新浪汤永臣的博客邮箱tshuxue101@163.com4 排球单循坏赛南方球队比北方球队多9支 南方球队总得分是北方球队的9倍求证冠军是一支南方球队（胜得1分败得0分）5（理科）O-XYZ坐标系内xoy平面系内绕y轴旋转一周构成一个不透光立体在点(1,0,1)设置一光源xoy平面内有一以原点为圆心的圆C被光照到的长度为2π求C上未被照到的长度2009年清华大学自主招生数学试题设的整数部分为，小数部分为求；求

4、；求2．为实数，且，求证：对于任意正整数，为正实数，求证：，其中为的一种排列3．请写出所有三个数均为质数，且公差为8的等差数列，并证明你的结论4．已知椭圆，过椭圆左顶点的直线与椭圆交于，与轴交于，过原点与平行的直线与椭圆交于求证：，，成等比数列5．已知，设，求6．随机挑选一个三位数求含有因子5的概率；求中恰有两个数码相等的概率7．四面体中，，，求证：四面体每个面的三角形为锐角三角形；5高屋建瓴纲举目张走向数学高端新浪汤永臣的博客邮箱tshuxue101@163.com设三个面与底面所成的角分别为，求证：8．证明当均

5、为奇数时，曲线与轴的交点横坐标为无理数9．设均为整数，性质为：对中任意个数，存在一种分法可将其分为两组，每组个数，使得两组所有元素的和相等求证：全部相等当且仅当具有性质2009年清华大学自主招生数学试题（文科）1．已知数列，且求证：是等差数列；求所在的直线方程2．12名职员（其中3名为男性）被平均分配到3个部门求此3名男性被分别分到不同部门的概率；求此3名男性被分到同一部门的概率；若有一男性被分到指定部门，求其他2人被分到其他不同部门的概率3．一元三次函数的三次项数为，的解集为若，求的解析式；若在上单调增，求的范围

6、4．已知，，，求点的轨迹；直线与交于点、，求（为原点）5．设          求证：求的最值，并给出此时，，，满足的条件若，求，，，，不符合时的条件5高屋建瓴纲举目张走向数学高端新浪汤永臣的博客邮箱tshuxue101@163.com2008届清华大学自主招生试题1.已知都是有理数，也是有理数，证明：都是有理数；2.（1）一个四面体，证明：至少存在一个顶点，从其出发的三条棱组成一个三角形；（2）四面体一个顶点处的三个角分别是，求的面和的面所成的二面角；3.求正整数区间中，不能被整除的整数之和；4.已知，求的取值范

7、围；5.若，求；6.证明：以原点为中心的面积大于的矩形中，至少还有两个格点。2007清华大学自主招生数学试题1.求的单调区间及极值.2.设正三角形边长为，是的中点三角形，为除去后剩下三个三角形内切圆面积之和.求.3.已知某音响设备由五个部件组成，A电视机，B影碟机，C线路，D左声道和E右声道，其中每个部件工作的概率如下图所示.能听到声音，当且仅当A与B中有一工作，C工作，D与E中有一工作；且若D和E同时工作则有立体声效果.A0.90B0.95C0.95D0.94E0.94求：（1）能听到立体声效果的概率；（2）听不

8、到声音的概率.4.(1)求三直线，，所围成三角形上的整点个数；(2)求方程组的整数解个数.5高屋建瓴纲举目张走向数学高端新浪汤永臣的博客邮箱tshuxue101@163.com5.已知，△ABC是正三角形，且B、C在双曲线一支上.(1)求证B、C关于直线对称；(2)求△ABC的周长.6.对于集合，称M为开集，当且仅当，，使得.判断集合与是否为开集，并证明你的