高三单元试题十五：复数(理)

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1、高三单元试题十五：复数（理）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(1－i)2·i＝（　　）A．2－2iB．2+2iC．2D．－22．设复数=（）A．B．C．D．3．复数的值是（）A．4iB．－4iC．4D．－44．设复数z＝1＋i，则z2－2z=（）A．－3B．3C．－3iD．3i5．复数的值是（）A．－1B．1C．32D．－326．复数的值是()A．－16B．16C．－D．7．设复数的辐角的主值为，虚部为，则＝（）A．B．C．D．8．已知复数z1＝3+4i，z2＝t+i，且

2、是实数，则实数t＝（）A．B．C．-D．-9．（）A．B．C．D．10．若且的最小值是（）A．2B．3C．4D．511．复数的共轭复数是（）A．B．C．D．12．若复数是一个纯虚数，则自然数的值可以是（　　）A．6　B．7C．8　D．9二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．答案填在题中横线上．13．已知复数z与(z+2)2－8i均是纯虚数，则z=____________．14．若复数z满足z(1+i)=2，则z的实部是__________．15．在复平面内，是原点，，，表示的复数分别为，那么表示的复数为____________.　16

3、．，那么以

4、z1

5、为直径的圆的面积为_______。三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）已知复数z1满足(1+i)z1=－1+5i，z2=a－2－i，其中i为虚数单位，a∈R，若<

6、z1

7、，求a的取值范围.18．（本小题满分12分）已知复数z1=cosθ－i，z2=sinθ+i，求

8、z1·z2

9、的最大值和最小值.19．（本小题满分12分）已知复数z的辐角为60°，且

10、z－1

11、是

12、z

13、和

14、z－2

15、的等比中项.求

16、z

17、。20．（本小题满分12分）已知z、w为复数，（1+3i）z为

18、实数，w=．21．(本小题满分12分)在复平面上，正方形ABCD的两个顶点A，B对应的复数分别为1+2i，3－5i。求另外两个顶点C，D对应的复数。22．(本小题满分14分)已知：复数z1=m+ni，z2=2－2i和z=x+yi，若z=i－z2⑴若复数z1所对应点M(m，n)在曲线y=(x+3)2+1上运动，求复数z所对应点P(x，y)的轨迹方程；⑵将⑴中P的轨迹上每一点沿着向量={，1}方向平移个单位，得新的轨迹C，求C的方程；⑶过轨迹C上任意一点A（异于顶点）作其切线l，l交y轴于点B，问：以AB为直径的圆是否恒过x轴上一定点？若存在，求出此

19、定点坐标；若不存在，则说明理由；高三单元试题之十五：复数（理）参考答案一、1．C2．C3．D4．A5．A　6．A7．A8．A9．B10．B11．B12．D二、13．－2i　14．1　15．4－4i　　16．4π三、17．解：由题意得z1==2+3i，于是==，=.<，得a2－8a+7<0，1

20、z1·z2

21、＝

22、1+sinθcosθ+(cosθ－sinθ)i

23、故

24、z1·z2

25、的最大值为，最小值为.19．解：设，则复数由题设20．解：设w＝x+yi(x，y∈R)，依题意得(1+3i)(2+i)w＝(－1+7i)w为实数，且

26、w

27、＝5

28、，∴，解之得或，∴w＝1+7i或w＝－1－7i。21．解：当A、B、C、D按逆时针方向排列时，对应的复数为(3－5i)－(1+2i)＝2－7i。故对应的复数为(2－7i)i=7+2i，对应的复数为(7+2i)＋(2－7i)＝9－5i。于是C点对应的复数为(9－5i)+(1+2i)＝10－3i，D点对应的复数为(7+2i)+(1+2i)＝8+4i。同样，当A、B、C、D按顺时针方向排列时，C、D点对应的复数分别为－4－7i，－6。22．解：⑴(y+1)2=2(x+1)⑵向右平移，向上平移1，得y2=2(x－)⑶设A(x0，y0)，斜率为k，切线y－

29、y0=k(x－x0)(k≠0)，代入整理得ky2－2y+(2y0－2kx0+k)=0，△=0得(2x0－1)k2－2y0k+1=0y=2x0－1，代入yk2－2y0k+1=0，得k=.令x=0，B(0，y0－)，以AB为直径的圆(y－y0)[y－(y0－)]+x(x－x0)=0令y=0，x=1即恒过(1，0)。