求解给定第一、第二基本形式的曲面方程的求解方法

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1、曲面论的基本定理第一节由给定的第一、第二基本形式，求曲面方程的直接解法例1已知，求该曲面.【解】设所求曲面为，由已知条件，可得，，，，，；所以，，，，，，，；29，，，，，；于是，，；展开，即得，，，，29，由此，积分，得；将，，，代入，得；代入，得；故，其中为常向量。而，所以，因此又，所以，再注意到，于是可以分别作为x,y,z轴上的单位向量，故所求曲面可表示为，29因此所求曲面是半径为1的圆柱面。例2证明不存在曲面，使。证明证法1假若存在这样的曲面，由已知条件，可得，，，，，；所以，，，，，，，；29，，，，，；于是，，；展开，即得，，，

2、，，29由此得到，，于是（常向量），这是矛盾的。所以，不存在这样的曲面。证法2假若存在这样的曲面，一方面；另一方面，这是矛盾的。所以，不存在这样的曲面。例3已知，其中，求该曲面.解解法1设所求曲面为，29由条件，，知，所以，因此所求曲面是球面，。，，，，，。解法2设所求曲面为，由已知条件，可得，，29，，，；所以，，，，，，，；，，，，，29；于是，，；展开，即得，，，，，由此，积分，得；将，，，29代入，得；代入，得，，，；代入，得；故。例4求曲面的参数方程，使得它的第一基本形式和第二基本形式分别为，。解解法1直接解曲面的微分方程比较困难

3、。观察曲面的两个基本形式，发现，并且其余系数只是参数的函数，于是可以假定该曲面是一个旋转曲面，29它的参数方程是，易知，，由条件，得，，，从前两个方程得到，经直接验证可知它们也适合后两个方程。因此，所求曲面的参数方程是。解法二设曲面为，由已知条件，可得，，，，，29；由此可得，，，，，；将分别表示为的线性组合；将分别表示为的线性组合，待定系数，可得，，，，，由第1，4个方程得到29，所以，，，由得，，比较系数，得，因此；再由第1个方程得到，29，，由第3个方程得到，，将两式对照得到，于是，这里都是常向量。因为，，，29，代入得到，，所以，，

4、，因此，，并且向量构成右手系。直接验证知第5个方程是成立的。取，则得所求的曲面是。解法3设曲面为，由已知条件，可得，，，29，，；由此可得，，，，，；，；，，，29，，；于是，，；展开，即得29，，，，，例5证明不存在曲面，使。证明假若曲面为，由已知条件，可得，，，，，；29所以，，，，，，将分别表示为的线性组合；将分别表示为的线性组合，待定系数，可得，，，，，代入计算，，发现，矛盾。所以，不存在这样的曲面。29第二节曲面的基本方程中系数之间的关系1.验证：曲面的平均曲率可以表示成。证明.(1)证法一：直接验证.由定义，.因此。.证法二：运

5、用Weingarten变换.由定义，.所以是Weingarten变换在切空间的基下的矩阵.而，它的两个特征值，也就是主曲率，满足，，所以.2.证明下列恒等式：(1)；29(2)；(3)，其中.证明.(1)因为，对求偏导数，得.由于，，，，于是，代入，得，从而，这就是(1)的矩阵形式.(2)由，，，可得左边右边.(3)左边为29，右边为，，（3）式得证。3、设，（1），（2）证明：（1）与（2）是等价的。证明:将（1）式左边乘，并对求和，得29，利用，可得上式，将以上等式，写成矩阵形式，得29，由此，即得（1）与（2）是等价的。第三节曲面上高

6、斯曲率计算公式的应用1、设曲面在参数坐标网下的第一基本形式为，，求高斯曲率。解由于，，所以，其中是关于变量的Laplace算子.292、求第一基本形式为的曲面高斯曲率。解因为，所以。3.已知曲面的第一基本形式和第二基本形式分别是，.证明：(1)函数满足；(2)和只是的函数.证明.由已知条件可得主曲率和平均曲率、Gauss曲率分别是，，，；由Codazzi方程，得，.因此，.由Gauss方程，可得.因此，并且仅依赖于.□4、证明下列曲面之间不存在等距对应.(1)球面；(2)柱面；(3)双曲抛物面.证明.(1)29球面是全脐点曲面，它的主曲率就

7、是法曲率，也就是法截线的相对曲率.因此，其中为球面半径.故球面的Gauss曲率.(2)柱面是可展曲面，因此Gauss曲率.(3)对于双曲抛物面，参数方程为.故有，，，，，.于是，，；，，.由此得.由于这三个曲面的高斯曲率不同，根据Gauss定理，这3个曲面之间不存在等距对应.5、证明:曲面，（正螺面），(旋转曲面)在点与处的高斯曲率相等,但曲面S与不存在等距对应.证明容易算出正螺面与旋转曲面的第一基本形式分别为29，再利用正交网时高斯曲率的计算公式(即高斯方程)经过计算得出曲面S和的高斯曲率分别为，。因此取对应点，便成立。但是曲面S与不存在

8、等距对应.我们用反证法.若曲面S与之间存在等距对应,29它的对应关系为则对应点的高斯曲率必相等,所以得出，即，或；(1)若则或。因此对应关系为这时的第一基本形式，因为是等距对应,