求解给定第一、第二基本形式的曲面方程的求解方法

求解给定第一、第二基本形式的曲面方程的求解方法

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时间:2018-09-25

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1、曲面论的基本定理第一节由给定的第一、第二基本形式,求曲面方程的直接解法例1已知,求该曲面.【解】设所求曲面为,由已知条件,可得,,,,,;所以,,,,,,,;29,,,,,;于是,,;展开,即得,,,,29,由此,积分,得;将,,,代入,得;代入,得;故,其中为常向量。而,所以,因此又,所以,再注意到,于是可以分别作为x,y,z轴上的单位向量,故所求曲面可表示为,29因此所求曲面是半径为1的圆柱面。例2证明不存在曲面,使。证明证法1假若存在这样的曲面,由已知条件,可得,,,,,;所以,,,,,,,;29,,,,,;于是,,;展

2、开,即得,,,,,29由此得到,,于是(常向量),这是矛盾的。所以,不存在这样的曲面。证法2假若存在这样的曲面,一方面;另一方面,这是矛盾的。所以,不存在这样的曲面。例3已知,其中,求该曲面.解解法1设所求曲面为,29由条件,,知,所以,因此所求曲面是球面,。,,,,,。解法2设所求曲面为,由已知条件,可得,,29,,,;所以,,,,,,,;,,,,,29;于是,,;展开,即得,,,,,由此,积分,得;将,,,29代入,得;代入,得,,,;代入,得;故。例4求曲面的参数方程,使得它的第一基本形式和第二基本形式分别为,。解解法1

3、直接解曲面的微分方程比较困难。观察曲面的两个基本形式,发现,并且其余系数只是参数的函数,于是可以假定该曲面是一个旋转曲面,29它的参数方程是,易知,,由条件,得,,,从前两个方程得到,经直接验证可知它们也适合后两个方程。因此,所求曲面的参数方程是。解法二设曲面为,由已知条件,可得,,,,,29;由此可得,,,,,;将分别表示为的线性组合;将分别表示为的线性组合,待定系数,可得,,,,,由第1,4个方程得到29,所以,,,由得,,比较系数,得,因此;再由第1个方程得到,29,,由第3个方程得到,,将两式对照得到,于是,这里都是常

4、向量。因为,,,29,代入得到,,所以,,,因此,,并且向量构成右手系。直接验证知第5个方程是成立的。取,则得所求的曲面是。解法3设曲面为,由已知条件,可得,,,29,,;由此可得,,,,,;,;,,,29,,;于是,,;展开,即得29,,,,,例5证明不存在曲面,使。证明假若曲面为,由已知条件,可得,,,,,;29所以,,,,,,将分别表示为的线性组合;将分别表示为的线性组合,待定系数,可得,,,,,代入计算,,发现,矛盾。所以,不存在这样的曲面。29第二节曲面的基本方程中系数之间的关系1.验证:曲面的平均曲率可以表示成。证

5、明.(1)证法一:直接验证.由定义,.因此。.证法二:运用Weingarten变换.由定义,.所以是Weingarten变换在切空间的基下的矩阵.而,它的两个特征值,也就是主曲率,满足,,所以.2.证明下列恒等式:(1);29(2);(3),其中.证明.(1)因为,对求偏导数,得.由于,,,,于是,代入,得,从而,这就是(1)的矩阵形式.(2)由,,,可得左边右边.(3)左边为29,右边为,,(3)式得证。3、设,(1),(2)证明:(1)与(2)是等价的。证明:将(1)式左边乘,并对求和,得29,利用,可得上式,将以上等式,

6、写成矩阵形式,得29,由此,即得(1)与(2)是等价的。第三节曲面上高斯曲率计算公式的应用1、设曲面在参数坐标网下的第一基本形式为,,求高斯曲率。解由于,,所以,其中是关于变量的Laplace算子.292、求第一基本形式为的曲面高斯曲率。解因为,所以。3.已知曲面的第一基本形式和第二基本形式分别是,.证明:(1)函数满足;(2)和只是的函数.证明.由已知条件可得主曲率和平均曲率、Gauss曲率分别是,,,;由Codazzi方程,得,.因此,.由Gauss方程,可得.因此,并且仅依赖于.□4、证明下列曲面之间不存在等距对应.(1

7、)球面;(2)柱面;(3)双曲抛物面.证明.(1)29球面是全脐点曲面,它的主曲率就是法曲率,也就是法截线的相对曲率.因此,其中为球面半径.故球面的Gauss曲率.(2)柱面是可展曲面,因此Gauss曲率.(3)对于双曲抛物面,参数方程为.故有,,,,,.于是,,;,,.由此得.由于这三个曲面的高斯曲率不同,根据Gauss定理,这3个曲面之间不存在等距对应.5、证明:曲面,(正螺面),(旋转曲面)在点与处的高斯曲率相等,但曲面S与不存在等距对应.证明容易算出正螺面与旋转曲面的第一基本形式分别为29,再利用正交网时高斯曲率的计算

8、公式(即高斯方程)经过计算得出曲面S和的高斯曲率分别为,。因此取对应点,便成立。但是曲面S与不存在等距对应.我们用反证法.若曲面S与之间存在等距对应,29它的对应关系为则对应点的高斯曲率必相等,所以得出,即,或;(1)若则或。因此对应关系为这时的第一基本形式,因为是等距对应,

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