判定直线与椭圆位置关系的非常规方法

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1、判定直线与椭圆位置关系的非常规方法浙江省宁波市北仑中学（315800）吴文尧判定直线与椭圆位置关系的常规方法是把直线方程代入椭圆方程，得到关于的一元二次方程，然后用判别式法求解之；其运算往往比较复杂.本文介绍两种判定直线和椭圆位置关系的非常规方法,并简要介绍这两种方法的应用。定理1:设、分别是椭圆的左、右焦点，点P是直角坐标平面中的任意一点，则（1）点P在椭圆上.（2）点P在椭圆外.（3）点P在椭圆内.证明:(1)由椭圆的定义直接可得这个结论.(2)1)当点P在椭圆外时:如图,连结交椭圆于点M,则>即成立.即:点P在椭圆外(3)1)当点P在椭圆内时:如图,连结并延长交椭圆于点M,则<5即成立

2、.即:点P在椭圆内(2)2)当时:若点P在椭圆上,则有得矛盾若点P在椭圆内,则有得矛盾∴点P在椭圆外.即点P在椭圆外.(3)2)同理可得点P在椭圆内.定理2：设直线上的动点P到椭圆两焦点、的距离和的最小值为,则（1）直线和椭圆C相切；（2）直线和椭圆C相离；（1）直线和椭圆C相交；证明:(1)直线和椭圆C相切直线和椭圆C有且仅有一个公共点直线上有且仅有一个点在椭圆上,而其它点全在椭圆外的最小值为(2)直线和椭圆C相离直线上的所有点都在椭圆C的外部恒成立5(3)直线和椭圆C相交直线上至少存在一点P在椭圆C的内部直线上至少存在一点P使成立注:容易验证对于焦点在轴上的椭圆,上述结论也成立.定理3：

3、已知：直线椭圆，则（1）；（2）；（3）。证明：作坐标变换：则在新坐标系中椭圆C变成曲线的方程为：（已化为单位圆），直线l变成直线的方程为，易见坐标变换前后直线和曲线的位置关系（公共点的个数）保持不变；在中，由于圆心到直线的距离∴和椭圆C相交和单位圆相交同理：和椭圆C相切和椭圆C相离5下面介绍上述定理的初步应用例1已知:椭圆C以两坐标轴为对称轴，焦点在x轴上，且与两直线均相切，求：椭圆C的方程。解：设椭圆的方程为：∵椭圆和直线相切∴由定理3可知：又∵椭圆和直线相切∴由解得∴椭圆的方程为：评注:用定理3判定直线和椭圆的位置关系，通常可以避免一些繁杂的运算.例2：（2003年全国联赛第一试最后一

4、题）一张纸上画有半径为R的圆O和圆内一定点A，且，折叠折片，使圆周上某一点刚好与A重合，这样的每一种折法都留下一条直线折痕，当取遍圆周上所有点时；求所有折痕所在直线上点的集合。解：如图，以O为原点，OA所在直线为x轴建立直角坐标系，则折痕MN为线段的垂直平分线，设的中点为G，P为MN上的任意一点，则5≥=，故直线MN上的点到两定点O，A的距离之和的最小值为定值R，由定理2可知：直线MN和以O，A为焦点，长轴长为R的椭圆相切即动直线MN和椭圆相切∴所求折痕所在直线上的点集即为上述椭圆的所有切线上的点故所求点的集合为：椭圆外（含边界）部分.5