no 10-2 袁正中 复杂网络论文

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1、第1章绪论理学硕士学位论文复杂网络自适应同步和控制策略研究袁正中漳州师范学院二○一○年五月-19-攻读硕士学位期间完成的论文第2章复杂网络自适应全局同步2.1引言同步是网络的一个重要特性。近几年里，复杂网络的同步问题已经深入到了各个学科，甚至工程领域。许多关于线性耦合网络同步的有效方法被提出并得到进一步的深入分析研究。文献[10]首先提出了主稳定函数方法，并利用主稳定函数实现了线性耦合网络的局部同步。由于此方法只需要计算外耦合矩阵的特征值，所以被广泛应用于研究线性耦合网络的局部同步问题。同时也有部分利用主稳定函数方法关于有向和无向网络的全局同步结果。这

2、些结果说明不管是对于局部还是全局同步，主稳定函数方法都是一个很有效的方法。然而外耦合矩阵的特征值计算是一个比较复杂的问题，它一般只适用于简单的耦合方式，对于复杂的网络，它的计算是非常困难的。在文献[15-17]中，作者提出了一种不需要计算外耦合矩阵特征值来实现网络同步的方法。这种方法通过将Lyapunov函数与图论进行联系，不仅能实现网络局部同步，同时也能实现网络的全局同步，并且还可以应用在时变网络上。而在文献[18-25]中，自适应控制方法被引入并实现了网络的局部和全局同步。特别是在文献[18]中，作者提出引导渐近稳定概念，应用自适应方法研究了复杂网

3、络的同步问题，得到了网络同步的自适应控制器。而文献[19]的作者研究了具有自适应耦合强度的复杂网络的同步问题，利用网络自适应调节耦合强度来实现网络的最终同步。然而作者所提出的自适应耦合强度是一个向量函数。文献[18]所提出的引导渐近稳定概念只针对于单分量引导渐近稳定情形。实际的系统很难满足这一条，它们往往要通过几个分量一起作引导才能最终实现稳定这一目标。如系统就不能通过任何单个分量进行引导而达到稳定，但却可以通过和这两个分量进行引导而稳定；另外文献[18]中对统一混沌系统，引导渐近稳定只对于参数取内值时才成立，而如果用和一起引导能将参数取值范围扩大-1

4、9-攻读硕士学位期间完成的论文到[0,1]。而且在实际的网络中，耦合强度也不应该是一个向量函数。有鉴于此，我们在本章中提出引导渐近稳定概念，也就是系统的引导稳定效果通过多个分量同时作用实现。我们利用这个概念研究了具有自适应耦合强度的网络同步问题。利用Lyapunov直接法，在一个简单自适应控制器作用下，这类网络能有效地达到全局同步。我们的控制策略是设置两个相连节点之间的自适应耦合强度，而且我们的耦合强度只与这两节点的部分状态分量有关，舍弃了一些多余的状态分量信息。最后以统一混沌系统作动力学行为的星型耦合网络和环型耦合网络作为例子，验证了在引导渐近稳定概

5、念下，我们提出的自适应耦合强度能最终实现网络的同步。当然这种方法也同样适用于其它任何类型的网络。2.2网络模型和预备知识考虑由个相同节点构成的无向无自环的线性耦合复杂网络，其动力学方程可表示为(2.1)其中是节点状态变量，为一连续的非线性向量函数，代表孤立节点动力学方程。是网络的内耦合矩阵，代表节点状态分量耦合情况以及内耦合强度，一般取并代表耦合的节点通过第个分量耦合。代表复杂网络拓扑结构，一般被称为网络的外耦合矩阵。其元素定义如下，当节点和耦合（相连）时，，否则。所以矩阵不仅表示了网络的耦合情况，还代表了网络节点之间的耦合强度。也就是我们研究的网络是

6、一个时变加权网络。为书写方便，在下面的书写过程中，我们用代替原来的。矩阵的对角线元素定义为()．(2.2)-19-攻读硕士学位期间完成的论文定义2.1：系统的平衡点被称为是引导渐近稳定的，如果分量的渐近稳定性能最终导致平衡点的渐近稳定性。注2.1：从定义2.1可以看出，文献[18]的引导渐近稳定概念只是我们的概念中这种特殊情况。所以我们的定义是更一般的情形。设误差,显然。误差系统为(2.3)如果对于任意的状态初始值，节点状态最终达到，亦即，我们就称网络(2.1)达到全局同步。2.3主要结论定理2.1如果系统（2.3）满足如下条件：(I)非线性函数满足全

7、局一致Lipschitz条件，亦即对于任意的,存在常数使得成立；(II)平衡点是引导渐近稳定的；(III)非零耦合强度满足如下的自适应变化律，(2.4)则网络（2.1）在耦合强度（2.4）的作用下将达到全局同步，其中为任意正常数，。证明：设Lyapunov函数为.(2.5)其中是一个适当的正常数，它的值将在后面进行估计。很明显函数关于-19-攻读硕士学位期间完成的论文是正定的。其导数为(2.6)式（2.6）的第一部分和式可根据条件（I）计算为；(2.7)而第二部分和式可按如下方式计算：根据，我们得到。(2.8)将式（2.8）第二部分的求和指数和互换，这

8、样第二部分就化解为跟第一部分一致。所以整个和式简化为。(2.9)再利用，我们将和式改写为。(2