数理方程与特殊函数(10-11-2a)参考答案

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1、10---11-2数学物理方程与特殊函数（A卷）参考答案一．填空题1，自由项，齐次方程，非齐次方程，初值条件，（第三类）边界条件，初边值（混合）问题；2，函数1），具有二阶连续偏导函数；2），满足方程；3，；4，；5，，；6，；；7，；；无界的；8，二．解：相应方程的特征方程为：，即：，。由此得积分曲线：，。作特征变换：，，则：，；，，。代入原方程，整理得：，则通解为：，其中是任意两个连续二次可微函数。因此原方程通解为：。由初值条件有：，。由微分方程有：因此，，。代入通解得到所求解为：。三．解：设函数分别是下列两个定解问题的解：（Ⅰ

2、）（Ⅱ）则根据线性方程解的叠加原理，原定解问题的解。现求解问题（Ⅰ）：设此问题的非平凡解，代入方程有，则有：。上式左右两边分别是和的函数，只能等于同一常数时才能成立，因此有，。代入边界条件，注意到要求解的非平凡性，有。由此有特征值问题：其特征方程是：；①当时，特征根，方程通解，由定解条件有，则，此时是平凡解；②当时，特征重根，方程通解，由定解条件有，此时也是平凡解；③当时，特征根，方程通解。由定解条件有。为了得到非平凡解，需，则只能，由此有，则特征值，特征函数，；把代入的微分方程，得到，其特征方程为，当时，特征重根，方程通解；当时，

3、特征根，方程通解；则满足问题（Ⅰ）中方程和边界条件的特解,，,由此得到级数解.由初值条件有.根据特征函数系的正交性，有常数，,.因此，关于求导得.由初值条件有.同样根据特征函数系的正交性，有常数，,.因此，问题（Ⅰ）的解.现求解问题（Ⅱ）：由于问题（Ⅰ）中的特征函数系，设定解问题（Ⅱ）的级数解为：。代入方程和初值条件可得：,；由特征函数系的正交性，有⑴和时⑵对于问题⑴，对应齐次方程的特征方程为，特征重根，则齐次方程通解.设非齐次方程特解，代入方程有，所以,则方程通解.由初值条件有，故问题⑴的解为.对于问题⑵，方程的特征方程，当时，特

4、征根,方程通解.由初值条件有,因此.由此可知问题（Ⅱ）的解.综上可得，原问题的解四．解：记函数的变换,对方程和初值条件作变换，并利用其微分性质，有方程的特征方程为，特征值，则方程通解为由初值条件有常数所以，则根据变换的卷积定理有根据逆变换的定义和函数的性质有根据卷积的定义，最终得到初值问题的解五．证明：记,.时，，则，，，，所以，，故，即；由于，则在时，有,因此.综上所述，函数满足该问题。六．解：由物理意义，温度函数满足自然条件：①当时，；②当时，令，代入方程得.由此有，此式成立，只能等式两边等于同一常数,因此有⑴，⑵.方程⑴的解为

5、，由条件②知，，令。⑵是阶方程，此时方程⑵的通解为.由于第二类函数的值在时是无穷，由条件①知，常数，因此。由问题的边界条件知，，即是第一类函数的零点。若是的正零点，则由此可以得到,,从而可以得到满足方程和边界条件的特解