1959年至2012年imo试题

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1、第一届（1959年）罗马尼亚布拉索夫（Braşov，Romania）1.求证对每个自然数n都是最简分数。（波兰）2.设，试在以下3种情况下分别求出x的实数解：a)；b)A=1；c)A=2。（罗马尼亚）3.a、b、c都是实数，已知关于cosx的二次方程试用a,b,c作出一个关于cos2x的二次方程，使它的根与原来的方程一样。当a=4,b=2,c=-1时比较cosx和cos2x的方程式。（匈牙利）4.试作一直角三角形使其斜边为已知的c，斜边上的中线是两直角边的几何平均值。（匈牙利）5.在线段AB上任意选取一点M，在AB的同一侧分别以AM、MB为底作正方形AMCD、MB

2、EF，这两个正方形的外接圆的圆心分别是P、Q，设这两个外接圆又交于M、N。a)求证：AF、BC相交于N点；b)求证：不论点M如何选取，直线MN都通过定点S；c)当M在A与B之间变动时，求线段PQ的中点的轨迹。（罗马尼亚）6.两个平面P、Q的公共边为p，A为P上给定一点，C为Q上给定一点，并且这两点都不在直线p上。试作一等腰梯形ABCD（AB平行于CD），使得它有一个内切圆，并且顶点B、D分别落在平面P和Q上。（捷克斯洛伐克）第二届（1960年）罗马尼亚锡纳亚（Sinaia，Romania）1.找出所有具有下列性质的三位数N：N能被11整除且商等于N的各位数字的平方

3、和。（保加利亚）2.寻找使下式成立的实数x：（匈牙利）3.直角三角形ABC的斜边BC的长为a，将它分成n等份（n为奇数），令α为从A点向中间的那一小段线段所张的锐角，从A到BC边的高长为h，求证：（罗马尼亚）36th4.已知从A、B两点引出的高线长ha、hb以及从A引出的中线长ma，求作三角形ABC。（匈牙利）5.正方体ABCD-A'B'C'D'（上底面ABCD，下底面A'B'C'D'）。X是对角线AC上任意一点，Y是B'D'上任意一点。a)求XY中点的轨迹；b)求a)中轨迹上的、并且还满足ZY=2XZ的点Z的轨迹。（捷克斯洛伐克）6.一个圆锥内有一内接球，又有一

4、圆柱体外切于此圆球，其底面落在圆锥的底面上。令V1为圆锥的体积，V2为圆柱的体积。a)求证：V1不等于V2；b)设V1=kV2，求k的最小值；并在此情况下作出圆锥顶角。（民主德国）7.一个等腰梯形的两底为a、c，高为h。a)在这个等腰梯形的对称轴上，找到所有的点P，使以P为顶点，且经过梯形腰的两个端点的角为直角；b)计算P点到两底的距离；c)判断在什么情况下P点确实存在。讨论各种情况。（保加利亚）第三届（1961年）匈牙利维斯普雷姆（Veszprém，Hungary）1.设a，b为常数，解方程组，并给出a和b满足什么条件时才能使x、y、z为互不相同的正数。（匈牙利

5、）2.设a、b、c为三角形的三条边，其面积为S。证明并说明何时取等号。（波兰）3.解方程，n是自然数。（保加利亚）4.设P是三角形P1P2P3内一点。直线P1P，P2P，P3P分别与其对边相交于Q1，Q2，Q3。证明数字至少有一个不大于2，也至少有一个不小于2。（民主德国）5.作三角形ABC满足AC=b，AB=c，且∠AMB=ω，其中M是线段BC的中点且ω<90°。证明：当且仅当时可作出此三角形，并说明何时等号成立。（捷克斯洛伐克）6.三个不共线的点A、B、C在平面ε的同一侧；假设平面ABC不与平面ε平行。在平面ε上任取三个点A’、B’、C’。设L、M、N分别为线

6、段AA’，BB’，CC’的中点，G为三角形LMN的重心（不考虑使L、M、N不能构成三角形的情况）。问：当A’、B’、C’各自变化时，G的轨迹是什么？（罗马尼亚）36th第四届（1962年）捷克斯洛伐克捷克布杰约维采（ČeskéBudějovice，Czechoslovakia）1.找出具有下列各性质的最小正整数n：a)它的最后一位数字是6；b)如果把最后的6去掉并放在最前面，所得到的数是原来数的4倍。（波兰）2.试找出满足下列不等式的所有实数x：（匈牙利）3.已知正方体ABCD-A'B'C'D'（ABCD、A'B'C'D'分别是上下底）。一点X沿着正方形ABCD的

7、边界以方向ABCDA作匀速运动；一点Y以同样的速度沿着正方形B'C'CB的边界以方向B'C'CBB'运动。点X、Y在同一时刻分别从点A、B'开始运动。求线段XY的中点的轨迹。（捷克斯洛伐克）4.解方程cos2x+cos22x+cos23x=1。（罗马尼亚）5.在圆K上有三个不同的点A、B、C。试在K上再作出一点D使得这四点所形成的四边形有一个内切圆。（保加利亚）6.一个等腰三角形，设R为其外接圆半径，内切圆半径为r，求证这两个圆的圆心的距离是。（民主德国）7.求证：正四面体有5个不同的球，每个球都与这六条边或其延长线相切；反过来，如果一个四面体有5个这样的球，则它

8、必然是正四