1959年至2012年imo试题

1959年至2012年imo试题

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1、第一届(1959年)罗马尼亚布拉索夫(Braşov,Romania)1.求证对每个自然数n都是最简分数。(波兰)2.设,试在以下3种情况下分别求出x的实数解:a);b)A=1;c)A=2。(罗马尼亚)3.a、b、c都是实数,已知关于cosx的二次方程试用a,b,c作出一个关于cos2x的二次方程,使它的根与原来的方程一样。当a=4,b=2,c=-1时比较cosx和cos2x的方程式。(匈牙利)4.试作一直角三角形使其斜边为已知的c,斜边上的中线是两直角边的几何平均值。(匈牙利)5.在线段AB上任意选

2、取一点M,在AB的同一侧分别以AM、MB为底作正方形AMCD、MBEF,这两个正方形的外接圆的圆心分别是P、Q,设这两个外接圆又交于M、N。a)求证:AF、BC相交于N点;b)求证:不论点M如何选取,直线MN都通过定点S;c)当M在A与B之间变动时,求线段PQ的中点的轨迹。(罗马尼亚)6.两个平面P、Q的公共边为p,A为P上给定一点,C为Q上给定一点,并且这两点都不在直线p上。试作一等腰梯形ABCD(AB平行于CD),使得它有一个内切圆,并且顶点B、D分别落在平面P和Q上。(捷克斯洛伐克)第二届(1

3、960年)罗马尼亚锡纳亚(Sinaia,Romania)1.找出所有具有下列性质的三位数N:N能被11整除且商等于N的各位数字的平方和。(保加利亚)2.寻找使下式成立的实数x:(匈牙利)3.直角三角形ABC的斜边BC的长为a,将它分成n等份(n为奇数),令α为从A点向中间的那一小段线段所张的锐角,从A到BC边的高长为h,求证:(罗马尼亚)36th4.已知从A、B两点引出的高线长ha、hb以及从A引出的中线长ma,求作三角形ABC。(匈牙利)5.正方体ABCD-A'B'C'D'(上底面ABCD,下底面

4、A'B'C'D')。X是对角线AC上任意一点,Y是B'D'上任意一点。a)求XY中点的轨迹;b)求a)中轨迹上的、并且还满足ZY=2XZ的点Z的轨迹。(捷克斯洛伐克)6.一个圆锥内有一内接球,又有一圆柱体外切于此圆球,其底面落在圆锥的底面上。令V1为圆锥的体积,V2为圆柱的体积。a)求证:V1不等于V2;b)设V1=kV2,求k的最小值;并在此情况下作出圆锥顶角。(民主德国)7.一个等腰梯形的两底为a、c,高为h。a)在这个等腰梯形的对称轴上,找到所有的点P,使以P为顶点,且经过梯形腰的两个端点的角

5、为直角;b)计算P点到两底的距离;c)判断在什么情况下P点确实存在。讨论各种情况。(保加利亚)第三届(1961年)匈牙利维斯普雷姆(Veszprém,Hungary)1.设a,b为常数,解方程组,并给出a和b满足什么条件时才能使x、y、z为互不相同的正数。(匈牙利)2.设a、b、c为三角形的三条边,其面积为S。证明并说明何时取等号。(波兰)3.解方程,n是自然数。(保加利亚)4.设P是三角形P1P2P3内一点。直线P1P,P2P,P3P分别与其对边相交于Q1,Q2,Q3。证明数字至少有一个不大于2,

6、也至少有一个不小于2。(民主德国)5.作三角形ABC满足AC=b,AB=c,且∠AMB=ω,其中M是线段BC的中点且ω<90°。证明:当且仅当时可作出此三角形,并说明何时等号成立。(捷克斯洛伐克)6.三个不共线的点A、B、C在平面ε的同一侧;假设平面ABC不与平面ε平行。在平面ε上任取三个点A’、B’、C’。设L、M、N分别为线段AA’,BB’,CC’的中点,G为三角形LMN的重心(不考虑使L、M、N不能构成三角形的情况)。问:当A’、B’、C’各自变化时,G的轨迹是什么?(罗马尼亚)36th第四届

7、(1962年)捷克斯洛伐克捷克布杰约维采(ČeskéBudějovice,Czechoslovakia)1.找出具有下列各性质的最小正整数n:a)它的最后一位数字是6;b)如果把最后的6去掉并放在最前面,所得到的数是原来数的4倍。(波兰)2.试找出满足下列不等式的所有实数x:(匈牙利)3.已知正方体ABCD-A'B'C'D'(ABCD、A'B'C'D'分别是上下底)。一点X沿着正方形ABCD的边界以方向ABCDA作匀速运动;一点Y以同样的速度沿着正方形B'C'CB的边界以方向B'C'CBB'运动。点

8、X、Y在同一时刻分别从点A、B'开始运动。求线段XY的中点的轨迹。(捷克斯洛伐克)4.解方程cos2x+cos22x+cos23x=1。(罗马尼亚)5.在圆K上有三个不同的点A、B、C。试在K上再作出一点D使得这四点所形成的四边形有一个内切圆。(保加利亚)6.一个等腰三角形,设R为其外接圆半径,内切圆半径为r,求证这两个圆的圆心的距离是。(民主德国)7.求证:正四面体有5个不同的球,每个球都与这六条边或其延长线相切;反过来,如果一个四面体有5个这样的球,则它必然是正四

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