6.1 共形映射的概念

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第六章共形映射§6.2共形映射的基本问题§6.1共形映射的概念§6.3分式线性映射§6.4几个初等函数构成的共形映射 §6.1共形映射的概念本章将从几何的角度来研究复变函数，特别是要弄清楚解析函数的几何映射特征。具体地说，平面上的曲线或者区域经映射后，在平面上的象到底发生了什么变化？ §6.1共形映射的概念一、伸缩率与旋转角二、导数的几何意义三、共形映射 (平均伸缩率)一、伸缩率与旋转角1.伸缩率映射后，可以看出，曲线被伸缩和旋转。如图，过点的曲线经定义称为曲线经映射后在点的伸缩率。变成了过点的曲线 切线定义称为曲线经映射后在点的旋转角。2.旋转角一、伸缩率与旋转角如图，过点的曲线经映射后，变成了过点的曲线可以看出，曲线被伸缩和旋转。切线这两个指标定量地刻画了曲线经映射后的局部变化特征。 二、导数的几何意义设函数在区域D内解析，且分析由有切线切线 二、导数的几何意义设函数在区域D内解析，且分析1.导数的几何意义为曲线在点的伸缩率。为曲线在点的旋转角。切线切线 切线切线二、导数的几何意义2.伸缩率不变性任何一条经过点的曲线的3.旋转角不变性伸缩率均为任何一条经过点的曲线的旋转角均为即 二、导数的几何意义切线切线2.伸缩率不变性任何一条经过点的曲线的3.旋转角不变性伸缩率均为任何一条经过点的曲线的旋转角均为4.保角性由即保持了两条曲线的交角的大小与方向不变。即 三、共形映射1.第一类保角映射定义若函数在区域D内满足：(2)伸缩率不变性，(1)保角性,(保大小,保方向)；则称函数为区域D内的第一类保角映射。且若函数在区域D内解析，结论则函数为区域D内的第一类保角映射。P138定义6.1P138定理6.1 三、共形映射1.第一类保角映射2.第二类保角映射定义若函数在区域D内满足：则称函数为区域D内的第二类保角映射。(2)伸缩率不变性，(1)能保持两条曲线的交角的大小不变，但方向相反；P138定义6.1 三、共形映射1.第一类保角映射2.第二类保角映射3.共形映射若函数为区域D内的第一类保角映射，定义则称为区域D内时，的共形映射。关键要求函数还必须是一一映射(即双方单值)。且当P138定义6.2(保角映射的来历?) (1)在点，因此，函数在处其伸缩率为2，旋转角为(2)在点，因此，函数的保角性不成立。的伸缩率不变，且具有保角性，解函数在复平面上处处解析，且P137例6.1 解(1)由于因此，它具有伸缩率不变性；(2)显然，该函数能保持两条曲线的的交角的大小不变,但方向相反，因此，它是第二类保角映射。P138例6.2 因此，它在整个复平面上是第一类共形映射。可见，它不是双方单值的，(2)令解(1)由于在复平面上处处解析，且则则(3)如果设区域是双方单值的，则它在区域D内因此，它不是共形映射。因此，它是区域D内共形映射。令P139例6.3 休息一下…… 附：保角映射的来历1777年欧拉(Euler)就曾遇到过所谓的保角映射，他把这种映射称为“小范围里的相似映射”。保角映射这一术语最早出现在俄罗斯科学院院士舒别尔特()的制图学著作中。1788年1779年拉格朗日(Lagrange)创建了从旋转曲面到平面上的保角映射理论。1822年高斯(Gauss)创建了由复变函数出发的一般的保角映射理论。 附：保角映射的来历1851年黎曼(Riemann)首次发表了关于任意的单连域都可以映射到(单位)圆域的定理。此后，许瓦兹(Schwarz)、哈纳克(Harnack)以及庞加莱(Poincare)等人曾多次试图给出黎曼定理的严格证明。1900年才由奥斯古德(Osgood)获得成功，给出黎曼定理的严格证明。(返回)