第十二章 选 考 部 分(理)12-1几何证明选讲

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●课程标准一、几何证明选讲1．复习相似三角形的定义与性质，了解平行截割定理，证明直角三角形射影定理．2．证明圆周角定理、圆的切线的判定定理及性质定理．3．证明相交弦定理、圆内接四边形的性质定理与判定定理、切割线定理. 4．了解平行投影的含义，通过圆柱与平面的位置关系，体会平行投影；证明平面与圆柱面的截线是椭圆(特殊情形是圆)．5．通过观察平面截圆锥面的情境，体会下面定理：定理在空间中，取直线l为轴，直线l′与l相交于O点，其夹角为α，l′围绕l旋转得到以O为顶点，l′为母线的圆锥面，任取平面π，若它与轴l交角为β(π与l平行，记β＝0)，则： (1)β>α，平面π与圆锥面的交线为椭圆；(2)β＝α，平面π与圆锥面的交线为抛物线；(3)β<α，平面π与圆锥面的交线为双曲线．6．利用Dandelin双球(这两个球位于圆锥的内部，一个位于平面π的上方，一个位于平面π的下方，并且与平面π及圆锥面均相切)证明上述定理(1)情况． 7．试证明以下结果：①在6中，一个Dandelin球与圆锥面的交线为一个圆，并与圆锥的底面平行，记这个圆所在平面为π′；②如果平面π与平面π′的交线为m，在5(1)中椭圆上任取一点A，该Dandelin球与平面π的切点为F，则点A到点F的距离与点A到直线m的距离比是小于1的常数e.(称点F为个椭圆的焦点，直线m为椭圆的准线，常数e为离心率．) 8．探索定理中(3)的证明，体会当β无限接近α时平面π的极限结果．9．完成一个学习总结报告．报告应包括三方面的内容：(1)知识的总结．对本专题整体结构和内容的理解，对数学证明的认识．(2)拓展．通过查阅资料、独立思考，对某些内容和应用进行进一步探讨．(3)学习本专题的感受、体会． 二、坐标系与参数方程1．坐标系(1)回顾在平面直角坐标系中刻画点的位置的方法，体会坐标系的作用．(2)通过具体例子，了解在平面直角坐标系中伸缩变换作用下平面图形的变化情况．(3)能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化． (4)能在极坐标系中给出简单图形(如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆)的方程．通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，体会在用方程刻画平面图形时选择适当坐标系的意义．(5)借助具体实例(如圆形体育场看台的座位、地球的经纬度等)了解在柱坐标系、球坐标系中刻画空间中点的位置的方法，并与空间直角坐标系中刻画点的位置的方法相比较，体会它们的区别． 2．参数方程(1)通过分析抛物运动中时间与运动物体位置的关系，写出抛物线运动轨迹的参数方程，体会参数的意义．(2)分析直线、圆和圆锥曲线的几何性质，选择恰当的参数写出它们的参数方程．(3)举例说明某些曲线用参数方程表示比用普通方程表示更方便，感受参数方程的优越性．(4)借助教具或计算机软件，观察圆在直线上滚动时圆上定点的轨迹(平摆线)、直线在圆上滚动时直线上定点的轨迹(渐开线)，了解平摆线和渐开线的生成过程，并能推导出它们的参数方程． (5)通过阅读材料，了解其它摆线(变幅平摆线、变幅渐开线、外摆线、内摆线、环摆线)的生成过程；了解摆线在实际中应用的实例(例如，最速降线是平摆线，椭圆是特殊的内摆线——卡丹转盘，圆摆线齿轮与渐开线齿轮，收割机、翻土机等机械装置的摆线原理与设计，星形线与公共汽车门)；了解摆线在刻画行星运动轨道中的作用． 3．完成一个学习总结报告报告应包括三方面的内容：(1)知识的总结；对本专题整体结构和内容的理解，进一步认识数形结合思想，思考本专题与高中其它内容之间的联系．(2)拓展．通过查阅资料、调查研究、访问求教、独立思考，进一步探讨参数方程、摆线的应用．(3)学习本专题的感受、体会． 三、不等式选讲1．回顾和复习不等式的基本性质和基本不等式．2．理解绝对值的几何意义，并能利用绝对值不等式的几何意义证明以下不等式：(1)|a＋b|≤|a|＋|b|；(2)|a－b|≤|a－c|＋|c－b|；(3)会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|ax＋b|≤c；|ax＋b|≥c；|x－c|＋|x－b|≥a. 5．用向量递归方法讨论排序不等式．6．了解数学归纳法的原理及其使用范围，会用数学归纳法证明一些简单问题．7．会用数学归纳法证明贝努利不等式：(1＋x)n>1＋nx(x>－1，n为正整数)．了解当n为实数时贝努利不等式也成立． 8．会用上述不等式证明一些简单问题．能够利用平均值不等式、柯西不等式求一些特定函数的极值．9．通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法．10．完成一个学习总结报告．报告应包括三方面的内容：(1)知识的总结。对本专题介绍的不等式中蕴涵的数学思想方法和数学背景进行总结．(2)拓展．通过查阅资料、调查研究、访问求教、独立思考，进一步探讨不等式的应用．(3)对不等式学习的感受、体会． ●命题趋势这是新课标的选修系列4的内容．由各省自主确定命题的部分，命题方式可参照各省高考命题说明．1．几何证明选讲命题方式主要是将圆的几何性质与相似三角形知识结合，考查对基本定理的理解与掌握．2．坐标系与参数方程命题主要会集中在①极直互化，②直线、圆、圆锥曲线的极坐标方程及参数方程，③直线的参数方程中参数的几何意义，④参普互化． 3．不等式选讲命题重点是不等式的性质、含绝对值的不等式、基本不等式、柯西不等式、不等式的证明和解不等式及数学归纳法．●备考指南1．几何证明选讲复习重点应放在平行截割定理、直角三角形射影定理、圆周角定理，圆的切线判定与性质定理，相交弦、切割线定理及圆内接四边形性质定理上，命题主要考查应用相关定理进行推理计算，求线段长、求角等． 2．坐标系与参数方程，复习重点应是基本概念、原理的理解及简单的定理应用．备考应从以下几方面着手：(1)会写出曲线在伸缩变换下对应的方程．(2)掌握极坐标与直角坐标之间的互化关系式．(3)掌握常见的消参方法． (4)熟练掌握直线、圆的参数方程中参数的几何意义；掌握圆锥曲线参数方程的形式；掌握求直线的极坐标方程的方法(熟知过极点或垂直于极轴或垂直于极垂线的直线)；掌握圆心在极点或在极轴(或极垂线)上且过极点的圆的极坐标方程．(5)注重数形结合思想． 3．绝对值不等式结合不等式的性质是高考重点考查的内容，应重点抓好落实，不等式的证明穿插于函数、数列、导数、平面向量等知识中，是知识交汇重点命题方向，应重点复习．证明方法的复习重点放在比较、综合、分析、放缩、数学归纳法．高考作为导向，可能会涉及柯西不等式和排序不等式的应用，但难度不大，复习应抓好基本定理的落实． 重点难点重点：1.平行线截得比例线段定理和相似三角形的判定与性质．2．圆的几何性质和直线与圆的位置关系．难点：1.相似三角形的判定．2．与圆有关的的比例线段的证明思路． 知识归纳一、相似三角形1．相似三角形(1)定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形，相似三角形对应边的比值叫做相似比(或相似系数)．(2)判定①判定定理1两角对应相等的两个三角形相似．判定定理2三边对应成比例的两个三角形相似．判定定理3两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似． ②如果两个直角三角形有一个锐角对应相等，那么它们相似．如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例，那么它们相似．如果一个直角三角形的斜边与一条直角边和另一个直角三角形的斜边与一条直角边对应成比例，那么这两个三角形相似．(3)性质①性质定理1相似三角形对应边上的高、中线和它们周长的比都等于相似比． ②性质定理2相似三角形面积的比等于相似比的平方．相似三角形对应角的平分线的比，外接圆直径的比、周长的比，内切圆直径的比、周长的比都等于相似比．相似三角形外接圆面积的比，内切圆面积的比都等于相似比的平方．2．平行截割定理平行截割定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例． 推论：平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例．3．直角三角形的射影定理：若Rt△ABC斜边AB上的高为CD，则CD2＝AD·BD，BC2＝BD·AB，AC2＝AD·AB. 二、圆幂定理与圆锥截线1．圆的切线(1)切线判定定理　经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．(2)切线性质定理　圆的切线垂直于经过切点的半径．①经过圆心且垂直于切线的直线必过切点．②经过切点垂直于切线的直线必经过圆心．推论1从圆外一点所引圆的两条切线长相等．推论2经过圆外一点和圆心的直线平分从这点向圆所引两条切线的夹角． (3)内切圆、旁切圆　与一个三角形三边都相切的圆，叫做这个三角形的内切圆；与三角形的一边和其它两边的延长线都相切的圆，叫做三角形的旁切圆．2．圆心角定理圆心角的度数等于它所对的弧的度数．3．圆周角定理圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半．推论1直径(或半圆)所对的圆周角都是直角．推论2同弧或等弧所对的圆周角相等．推论3等于直角的圆周角所对的弦是圆的直径． 4．弦切角定理弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半．推论：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角．5．圆幂定理(1)相交弦定理　圆的两条相交弦被交点分成的两条线段长的积相等．(2)切割线定理　从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆的交点的两条线段长的比例中项．(3)割线定理　从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等． 圆幂定理　已知⊙(O，r)，通过一定点P，作⊙O的任一条割线交圆于A、B两点，则PA·PB＝定值k.①当点P在圆外时，k＝PO2－r2，②当点P在圆内时，k＝r2－OP2，③当点P在⊙O上时，k＝0，通常把这里的定值k称作点P对⊙O的幂．6．圆内接四边形(1)圆内接四边形性质定理①对角互补．②外角等于它的内对角 (2)圆内接四边形判定定理如果一个四边形的一组对角互补，那么这个四边形内接于圆．推论　如果四边形的一个外角等于它的内对角，那么这个四边形四个顶点共圆．7．平面与圆柱(锥)面的截线(1)圆柱面的直截面是圆，斜截面是椭圆． (2)球的切线与切平面①球的切线垂直于经过切点的半径．②从球外任一点引该球的所有切线长相等．③一个球的切平面垂直于过切点的半径．过球上任一点的球的所有切线都在过该点的球的切平面内．(3)Dandelin双球与圆柱面的斜截面的两个切点，为斜截面截圆柱面所得椭圆的焦点． 在空间给定一个圆锥面S，轴线与母线的夹角为α，任取一个不通过S的顶点的平面σ，设其与轴线的夹角为β(σ与轴平行时，规定β＝0)，则①β>α时，平面σ与圆锥面的交线为椭圆②β＝α时，平面σ与圆锥面的交线为抛物线③β<α时，平面σ与圆锥面的交线为双曲线Dandelin双球与平面σ的两个切点为σ截圆锥面所得截线的焦点．特别地，当β＝α时，只存在一个球与圆锥面及平面σ均相切，此切点为抛物线焦点． 圆锥曲线的统一定义除了圆之外，每一条圆锥曲线都是平面上到某个定点F和到某条定直线l的距离的比值等于常数的点的轨迹．误区警示1．应用相似三角形的性质时，对应量必须找准(对应边，对应角，对应边上的高、中线，对应的角平分线等等)，牢牢把握对应角对的边是对应边，对应边对的角是对应角． 2．判定两三角形相似时，可以用三边对应成比例，也可以用两角对应相等(只要两角对应相等，第三个角也对应相等)．但两边对应成比例时，必须有夹角相等的条件．3．等弧对等弦、对等圆心角、对等圆周角、对等弦切角的前提是同圆或等圆．4．相交弦定理、切割线定理、割线定理、切线长定理统称为圆幂定理：圆的两条弦或其延长线若相交，各弦被交点分成的两条线段长的积相等． 当两交点在圆内时为相交弦定理，当两交点在圆外时为割线定理，两交点重合时为切线，一条上两点重合时为切割线定理，两条都重合时为切线长定理，应用此定理一定要分清两条线段是指哪两条． 1．辅助线作法：几何证明题的一个重要问题就是作出恰当的辅助线，相似关系的基础就是平行截割定理，故作辅助线的主要方法就是作平行线，见中点取中点连线利用中位线定理，见比例点取等比的分点构造平行关系，截取等长线段构造全等关系，立体几何中通过作平行线或连结异面直线上的点化异为共等等都是常用的作辅助线方法． 3．同一法：先作出一个满足命题结论的图形，然后证明图形符合命题已知条件，确定所作图形与题设条件所指的图形相同，从而证明命题成立． [例1]如图，DE∥BC，EF∥DC，求证：AD2＝AF·AB. 如图，在△ABC中，EF∥CD，∠AFE＝∠B，AE＝6，ED＝3，AF＝8.(1)AC的长为________； 分析：由EF∥CD可知，△AEF∽△ADC，或可用平行线分线段成比例定理；由∠AFE＝∠B可知，△ACD∽△ABC. 如图所示，在▱ABCD中，BC＝24，E、F为BD的三等分点，则BM－DN＝()A．6B．3C．2D．4 解析：∵E、F为BD的三等分点，四边形为平行四边形，∴M为BC的中点，连CF交AD于P，则P为AD的中点，由△BCF∽△DPF及M为BC中点知，N为DP的中点，∴BM－DN＝12－6＝6，故选A.答案：A 分析：本题中有众多的垂直关系，而待证式为比例线段，故可考虑用射影定理试求．应用射影定理时，务必先考虑产生AB、AC、BE、CF，再考虑构造待证式． 在△ABC中，D、F分别在AC、BC上，且AB⊥AC，AF⊥BC，BD＝DC＝FC＝1，则AC＝________.分析：本题所给条件为垂直和相等关系，求线段AC的长，故可把AC作为未知数，利用射影定理构造方程求之．解析：在△ABC中，设AC＝x，∵AB⊥AC，AF⊥BC，又FC＝1，根据射影定理得，AC2＝FC·BC，∴BC＝x2. (2010·北京顺义一中模考)如图，已知⊙O的直径AB＝5，C为圆周上一点，BC＝4，过点C作⊙O的切线l，过点A作l的垂线AD，垂足为D，则CD＝________. [例5]如图，已知AP是⊙O的切线，P为切点，AC是⊙O的割线，与⊙O交于B、C两点，圆心O在∠PAC的内部，点M是BC的中点．(1)证明A、P、O、M四点共圆；(2)求∠OAM＋∠APM的大小． 解析：(1)连结OP、OM.∵AP与⊙O相切于点P，∴OP⊥AP.∵M是⊙O的弦BC的中点，∴OM⊥BC.于是∠OPA＋∠OMA＝180°.由圆心O在∠PAC的内部，可知四边形APOM的对角互补，所以A、P、O、M四点共圆． (2)∵A、P、O、M四点共圆，∴∠OAM＝∠OPM.∴∠OAM＋∠APM＝∠OPM＋∠APM＝∠OPA＝90°. (2010·北京理)如图，⊙O的弦ED，CB的延长线交于点A，若BD⊥AE，AB＝4，BC＝2，AD＝3，则DE＝______；CE＝________. 点评：可以由圆内接四边形的性质证明△ADB∽△ACE，求得DE，再结合BD⊥AE，利用勾股定理求BD，再求CE. [例6]已知：如右图，AB为⊙O的直径，过B点作⊙O的切线，C为切线上的一点，连结OC交⊙O于点E，AE的延长线交BC于点D.(1)求证：CE2＝CD·CB；(2)若AB＝BC＝2，求CD的长． 分析：欲证线段长度的积式即比例式，可考虑相似三角形，由题设条件直径和切线可得角相等，关键是把所给线段、角归到两个三角形中．解析：(1)连结BE. (2010·宁夏诊断)如图，直线AB经过⊙O上的点C，并且OA＝OB，CA＝CB，直线OB交⊙O于点E、D，连接EC、CD. 解析：(1)证明：如图，连接OC.∵OA＝OB，CA＝CB，∴OC⊥AB.∴AB是⊙O的切线． [答案]C A．45°B．60°C．90°D．135°[答案]C 3．自圆O外一点P引圆的切线，切点为A，M为PA的中点，过M引圆的割线交圆于B，C两点，且∠BMP＝100°，∠BPC＝40°，则∠MPB的大小为()A．10°B．20°C．30°D．40°[答案]B 二、填空题4．如图所示，BD为圆O的直径，AB＝AC，AD交BC于E，AE＝2，ED＝4，则AB的长为________． 1．(2010·广东罗湖区调研)如图AB是⊙O的直径，P为AB延长线上的一点，PC切⊙O于点C，PC＝4，PB＝2.则⊙O的半径等于________.[答案]3[解析]∵PC2＝PB·PA，∴16＝2×(2＋2r)，∴r＝3. 2．(北京延庆县模考)已知⊙O的直径AB＝13cm，C为圆周上一点(不同于A、B点)，CD⊥AB于D，CD＝6cm，则BD＝________cm.[答案]4或9[解析]∵C在圆周上，∴AC⊥BC，又CD⊥AB，∴CD2＝AD·BD，∴36＝(13－BD)·BD，∴BD＝4或9. 3．(2010·茂名市模考)如图所示，已知圆O直径为，AB是圆O的直径，C为圆O上一点，且BC＝，过点B的圆O的切线交AC延长线于点D，则DA＝________.[答案]3[解析]∵AB为直径，∴∠ACB为直角， [答案]130°[解析]由切割线定理知PA2＝PB·PC， [答案]4[解析]如图，∵PC是⊙O的切线，∴OC⊥PC，∵∠CAP＝30°，OA＝OC，∴∠OCA＝30°，∴∠P＝30°，∴OP＝2OC，设OC＝r，则PA＝3r，PB＝r，∵PC2＝PA·PB，∴12＝3r2，∴r＝2，∴AB＝2r＝4. 6．(2010·深圳市调研)如图，圆O的直径AB＝6，C为圆周上一点，BC＝3，过C作圆的切线l，过A作l的垂线AD，垂足为D，则线段CD的长为________． 9．(2010·广东省东莞市)如图，⊙O的直径AB＝6cm，P是AB延长线上的一点，过P点作⊙O的切线，切点为C，连结AC，若∠CPA＝30°，则PC＝________. 11．(2010·陕西宝鸡市)如图，AD是⊙O的切线，AC是⊙O的弦，过C作AD的垂线，垂足为B，CB与⊙O相交于点E，AE平分∠CAB，且AE＝2，则AC＝________. 12．(2010·吉林省调研)如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，∠BAC的平分线AD交⊙O于点D，DE⊥AC，且DE交AC的延长线于点E，OE交AD于点F. [解析](1)证明：连结OD，可得∠ODA＝∠OAD＝∠DAC，∴OD∥AE，又AE⊥DE，∴DE⊥OD，又OD为半径，∴DE是⊙O的切线．(2)过点D作DH⊥AB于H，则有∠DOH＝∠CAB，cos∠DOH＝cos∠CAB 13．(2010·延边州检测)如图，AB是半圆的直径，C是AB延长线上一点，CD切半圆于点D，CD＝2，DE⊥AB，垂中为E，且E是OB的中点，求BC的长． [解析]连结OD，则OD⊥DC，