13-chap-7等离子体中碰撞与输运

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等离子体中碰撞与输运等离子体物理 研究等离子体中宏观不稳定性通常采用：直观分析简正分析能量原理等离子体平衡与稳定性磁流体力学平衡双流不稳定性 等离子体平衡与稳定性磁流体力学平衡平衡方程θ-Pinch箍缩一维Grad-Shafranov平衡方程Z-Pinch箍缩 不稳定性增长率:等离子体平衡与稳定性双流不稳定性当时候才可能产生不稳定性。一般情况下，等离子体频率p很大，故只有当u0足够大且波长足够长的时候，不稳定性才有可能发生。 等离子体不稳定性的直接后果是产生反常的输运行为。什么过程控制着等离子体的输运行为？ 6.1等离子体中的两体碰撞等离子体等离子体是多组元（电子、离子和中性粒子）弱相互作用粒子的气体。通常采取气体动力学理论中的惯用的处理方法，在粒子相互作用区域不考虑外场的影响，而在碰撞的间隔部分不考虑粒子相互作用力。因为相互作用半径比自由程小很多。 等离子体中的粒子之间的碰撞特性与等离子体的密度、温度以及电离度的强弱都有关系，等离子体中的碰撞过程极为复杂。由于带电粒子之间的作用－库仑相互作用－是长程力，在它们之间发生碰撞一般是多体过程，即一个带电粒子同时与多个粒子相互作用。对于低温等离子体，可以认为二体碰撞是主要的，特别是对于弱电离等离子体，其中中性之间、带电粒子与中性粒子之间的二体碰撞占主导地位。而对于高温等离子体，或者强电离等离子体，多体碰撞是主要的，描述这样的过程非常复杂。一般通过近似办法处理，在一定的条件下也是利用二体碰撞及其叠加来处理。所以二体碰撞是研究等离子体输运过程的基础。6.1.1二体碰撞 这节我们只讨论碰撞的后果—碰撞粒子状态和速度的改变。现在讨论α类粒子与β类粒子的碰撞。假设在碰撞过程中不存在外力对粒子的作用。相互作用粒子系统的动量和能量是不改变的。α类粒子β类粒子系统的动量 动量守恒定律碰撞前后能量守恒系统的总动能这里ΔE是碰撞引起的粒子内能的总改变量。 对于弹性碰撞，显然有ΔE=0。对于非弹性碰撞，可分为第一类碰撞ΔE﹥0和第二类碰撞ΔE﹤0。原子从基态跃迁到激发态的碰撞是第一类碰撞的例子。伴随逆过程的碰撞是第二类碰撞的例子。 为了更仔细的研究守恒定律，采用质心坐标系统较为方便。质心坐标和速度由于动量守恒，质心速度在碰撞过程中是一个常数。因而可以采用质心静止的坐标系，即有 粒子的相对速度质心系粒子的速度 粒子在实验室坐标系中的速度总动能 总动能因此，碰撞粒子的运动完全决定于质心速度o和相对速度。能量守恒定律可表示为因为在碰撞过程中质心的速度和动能不变 得到上式表明，总动能K中只有对应于相对运动能量的那部分才能转换为内能。显然对于弹性碰撞在弹性碰撞下（ΔE=0），相对速度的大小不会改变，即＝′。 二体碰撞动量守恒定律系统的总动能内能变化 下面我们讨论碰撞时粒子动量和动能的变化。6.1.2二体碰撞过程中动量及能量变化粒子的动量变化 Δ在方向的投影为在垂直方向上的两个投影为这里碰撞前后速度矢量和’之间的夹角θ称为散射角，而ϕ为方位角因为ϕ角仅决定于粒子的相互位置，所以在对碰撞进行统计研究的时候常按ϕ作平均。由于所以：碰撞前后相对速度的大小不变 所以：从上式看到，动量变化正比于碰撞粒子的相对速度。它对散射角的依赖关系决定于因子 对与慢粒子碰撞的情形，由上式，得碰撞时动量的相对损失这个比值的最大值取决于质量比：1、在轻粒子与重粒子碰撞条件下，动量可能相反；3、在重粒子与轻粒子碰撞条件下，动量的最大损失与质量比有关2、在质量相近粒子碰撞条件下，动量可能完全损失； 碰撞时粒子在实验室坐标系中的动能变化粒子的能量变化 如果β类粒子的速度分布各向同性，则在作了相应的平均之后，括号内第三项将等于零。这时表征碰撞时能量交换的效率（称为能量传输系数） 表征碰撞时能量交换的效率（称为能量传输系数）讨论：考虑一种特殊情况 考虑电子与重粒子（原子或离子）碰撞，且原子能量不大的条件下电子的速度远远大于重粒子速度，有因此，在质心系中的碰撞问题变成了电子在静止原子的场中的运动问题。 则电子的动量和能量可以改写 在电子和原子的非弹性碰撞条件下 这意味着，重粒子内能的变化等于电子动能的变化；重粒子的动能不变化。这一结论的精确性到电子和原子的质量比 二体碰撞过程中动量及能量变化粒子的动量变化粒子的能量变化电子与重粒子碰撞因此，在质心系中的碰撞问题变成了电子在静止原子的场中的运动问题。 6.1.3碰撞过程中偏转角的表达两个粒子碰撞，其间能量和动量发生传递，且这个能量和动量的传递都与碰撞过程中的偏转角有关。可以想见，这个角度一定取决于粒子之间的相互作用。本节将给出偏转角的具体表达形式。考虑弹性碰撞，即碰撞只引起相对速度的改变。 这里已经假设粒子间的相互作用力只依赖于它们的相对坐标。由上式可知，两个粒子的碰撞导致的相对运动，等效于质量为“”的试验粒子在有心场F作用下运动。粒子之间的相互作用力，经常可以认为是中心对称的。决定这样的相互作用的势Uαβ(r)仅仅依赖于碰撞粒子之间的距离所以这时，两个粒子之间的碰撞引起的相对速度的偏转，可以看成该试验粒子初始由无限远处以速度进入中心力场，在力场的作用下，速度发生变化，以速度’飞到无限远处。如图 由于力场的对称性，所以有：建立极坐标，如图。在有心力场中，粒子的机械能和动量矩守恒其中： 由满足方程所以偏转角的表达式：这是在一般有心力场中，偏转角和碰撞参数的关系 对于库仑势：考虑到：得：在库仑势作用下，偏转角和碰撞参数的关系 碰撞过程中偏转角的表达牛顿力学中心力场有心力场中偏转角和碰撞参数的关系对于库仑势：在库仑势作用下，偏转角和碰撞参数的关系 6.1.3微分散射截面的定义微分散射截面是对碰撞的统计描述。等离子体是由大量做无规则运动的和相互作用着的带电粒子组成，在这样的体系中，粒子之间的碰撞直接决定着对等离子体的宏观特性。而研究这样的影响通常是对大量这样的碰撞过程进行统计平均。所以有必要给出粒子间的碰撞的统计描述。我们知道一个粒子对一个靶心粒子的散射，其散射角依赖于碰撞参数，即依赖于粒子相对于靶心的运动位置。当大量粒子相对于靶心运动，对于其中的某一个粒子而言，它相对于靶心的位置具有随机性。因此需要研究度粒子对靶心散射特性，即需要给出粒子散射的概率描述。 设有一束试验粒子，相对于靶心的速度为，粒子的密度为n，定义粒子流强度I=n,它表示单位时间内通过垂直于粒子流方向的单位面积的粒子数。如图，选择柱坐标，设极轴（z轴）与入射粒子的运动方向一致，靶心粒子位于原点A。单位时间内，流强为I的粒子流被一个类粒子散射后，落入立体角d(=sindd)的类粒子的数目dN正比于流强和立体角。 具有面积量纲的比例系数σ表征粒子散射入一定方向的几率。它称为散射微分截面。 按经典力学，散射入立体角dΩ的粒子数等于穿过垂直于入射通量方向的面元的粒子数。如图，能进入立体角的粒子是碰撞参数在b-b+db，方位角d范围内的粒子，形象地说是那些通过面积元bdbd的入射粒子，散射后被散射到对应的立体角元中，所以 如果已知了θ与不b之间的关系，可由上式确定微分截面。偏转角的表达式：所以，一般微分散射截面是碰撞参数、散射角和速度的函数对于库仑势场中的散射：卢瑟福散射公式 微分散射截面的定义粒子散射的概率描述如果已知了θ与不b之间的关系，可由上式确定微分截面。对于库仑势场中的散射：卢瑟福散射公式 6.1.3碰撞的积分特征量微分截面积分后得到散射总截面α类粒子与β类粒子碰撞频率（或单位时间的碰撞次数）定义为按照截面的经典图像，它决定α类粒子轰击β类粒子组成的靶的次数。事实上，单位时间内这样的轰击数等于速度与碰撞截面积和靶密度的乘积。 如果α类粒子和β类粒子分别是半径为和的刚性球，则α类粒子与β类粒子的碰撞频率为这里散射总截面为碰撞频率的倒数给出碰撞之间的平均时间用它还可以确定自由程——碰撞之间的距离对电子和离子与原子的碰撞积分是发散的。但是，即使存在弹性碰撞总截面，也不能把它直接用于研究等离子体粒子运动的动力学，因为对它没有考虑到远、近碰撞影响的差别。值得注意的是散射总截面 为了描述弹性碰撞对粒子运动的影响，通常引入表征碰撞时动量和能量变化的权重因子两个粒子碰撞，其间能量和动量发生传递，且这个能量和动量的传递都与碰撞过程中的偏转角有关。这时，截面表达式为 上式定义的积分截面称为动量传输截面或输运截面。权重因子（1−cosθ）对远碰撞（当θ→0时）接近于零，因而对所有类型的电子—原子和离子—原子相互作用，积分都收敛。可以引进与输运截面相联系的碰撞积分特征量，有效碰撞频率，碰撞之间的时间，自由程： 对于非弹性碰撞，也可以定义碰撞总截面为这里(j)表示第j类非弹性碰撞。自然，截面表达式的积分在所有情况下都是收敛的。可以向弹性碰撞那样引进非弹性碰撞的频率、碰撞间隔时间和自由程 微分截面碰撞的积分特征量散射总截面动量传输截面或输运截面 6.2等离子体中的库仑碰撞、库仑对数6.2.1等离子体中的库仑碰撞带电粒子之间的碰撞与一般二体碰撞显然有很大区别：1、一个带电粒子作为散射中心，由于德拜屏蔽效应，它对被散射带电粒子的作用范围是在德拜半径范围量级。对于距离大于德拜半径的粒子，可以近似看成没有相互作用。所以碰撞参数的最大值为D。2、散射中心对德拜球内所有带电粒子同时发生作用，因此等离子体中带电粒子相互作用一般是多体相互作用。但是，一般在研究等离子体中相互作用时，在一定的条件下可以用两体碰撞来近似，而多体碰撞看成时孤立的二体碰撞的叠加。 6.2.2库仑对数前面我们已经知道碰撞过程中，粒子动量和能量的损耗：如果散射中心开始静止，能量损失为散射角 能量损失为对于小角度散射，即很小，在单独碰撞时的能量损耗近似是 如果我们考虑粒子能量的损耗到底有多快，那么我们要加上在基本长度内的所有碰撞中各相关碰撞参数的影响。碰撞参数db对b的作用相当于撞击目标粒子的次数乘以ΔK对b积分得到总的能量损耗： 所以或者？ 我们看到这是一个积分(b→0,b→∞)由对数限定的问题，因为我们用到的是近似的方程。我们用很小角度近似ΔK我们假设库仑力是适用的，但其实等离子区是屏蔽的。在b=b┴附近，小角度近似将不成立，只有在这一点将积分截断，忽略b>1，磁场显著地放慢了越过B的扩散率。在ωc2>>1极限下，有： 在平行于B的扩散中，D正比于υ-1，而垂直于B的扩散中，D⊥正比于υ。而D∝m-1/2，而D⊥∝m1/2。平行于B的扩散中，电子运动比离子块，垂直于B的扩散中，电子的逃逸则更慢。 Thankyouforyourattention