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时间：2024-08-29
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第七节方向导数与梯度一、方向导数二、梯度 一、问题的提出一块长方形的金属板，受热产生如图温度分布场.设一个小虫在板中逃生至某问该虫应沿什么方向爬行，才能最快到达凉快的地点？处，问题的实质：应沿由热变冷变化最剧烈的方向爬行． 需要计算场中各点沿不同方向的温度变化率，从而确定出温度下降的最快方向引入两个概念：方向导数和梯度方向导数问题梯度问题 讨论函数在一点P沿某一方向的变化率问题．二、方向导数 当沿着趋于时，是否存在？ 记为 的方向导数为同理,沿y轴正向的方向导数分别为在点沿着轴正向若偏导存在,则 方向导数是单侧极限，而偏导数是双侧极限.原因： 证明由于函数可微，则增量可表示为方向导数的存在及计算公式那末函数在该点沿任意方向l的方向导数都存在，定理如果函数在点可微分，且有为轴到方向l的转角．其中计算公式 故有方向导数两边同除以得到 故x轴到方向l的转角解方向l即为所求方向导数 解由方向导数的计算公式知（1）最大值;（2）最小值；（3）等于零？例2求函数在点(1,1)沿与x轴方向夹角为的方向射线的方向导数.并问在怎样的方向上此方向导数有 故方向导数达到最大值;方向导数达到最小值;方向导数等于0. 推广:三元函数方向导数的定义对于三元函数它在空间一点沿着方向l的方向导数，可定义为其中） 方向导数的计算公式 解令故方向余弦为求函数在此处沿方向的方向导数.是曲面例3设在点处的指向外侧的法向量, 故 三、梯度 设是方向l上的单位向量，当时，有最大值.其中由方向导数公式知 结论当不为零时，x轴到梯度的转角的正切为函数在某点的梯度是这样一个向量，它的方向与取得最大方向导数的方向一致,而它的模为方向导数的最大值．梯度的模为 在几何上表示一个曲面曲面被平面所截,得曲线它在xoy面上投影方程：等高线称为等值线.等值线几何上，称为等高线. 例如, 等值线上任一点处的一个法向量为表明：梯度方向与等值线的一个法线方向相同，它的指向为从数值较低的等值线指向较高的等梯度的模就等于函数在这个法线方向的方向导数.值线， 问题：上山时，如何选择最快的方向？计算方法课程中的一种计算策略：“瞎子下山法” 类似于二元函数，此梯度也是一个向量，其方向与取得最大方向导数的方向一致，其模为方向导数的最大值.梯度的概念可以推广到三元函数 解由梯度计算公式得故则在处梯度为例4求函数在点处的梯度，并问在何处梯度为零？ 一、方向导数（注意方向导数与一般所说偏导数的区别）小结1.定义2.计算公式 二、梯度（注意梯度是一个向量）定义方向：x轴到梯度的转角的正切模： 三、方向导数与梯度的关系方向与取得最大方向导数的方向一致,模为方向导数的最大值.梯度：其中 思考题问函数在某点处沿什么方向的方向导数最大？答：梯度方向答： 作业P.51习题8-71;4;7;8;10. 练习题 练习题答案
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