高中数学课件圆的一般方程

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4.1.2圆的一般方程 1.掌握圆的一般方程的形式，熟练掌握圆的两种方程的互化.2.会用待定系数法求圆的一般方程.3.了解几种求轨迹方程的方法. (1)形式：x2+y2+Dx+Ey+F=0,化为标准方程为__________________________.(2)条件：__________,圆心为_________,半径为_____________.特别地,①当D2+E2-4F=0时,方程表示点：__________.②当D2+E2-4F<0时,方程_______________.D2+E2-4F>0不表示任何图形 1.“判一判”理清知识的疑惑点(正确的打“√”,错误的打“×”).(1)平面内任一圆的方程都是关于x,y的二元二次方程.()(2)圆的一般方程和圆的标准方程可以互化.()(3)形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的方程都表示圆.()(4)方程x2+y2-2x+Ey+1=0表示圆,则E≠0.() 提示：(1)正确.因为可化为x2+y2+Dx+Ey+F=0,均是关于x,y的二元二次方程.(2)正确.圆的一般方程与圆的标准方程可以互化.(3)错误.少了条件D2+E2-4F>0.(4)正确.因为D2+E2-4F=4+E2-4>0,则E≠0.答案：(1)√(2)√(3)×(4)√ 2.“练一练”尝试知识的应用点(请把正确的答案写在横线上).(1)圆的标准方程(x-1)2+(y-3)2=1化为一般方程为.(2)若圆的一般方程为x2+y2+4x+2=0,则圆心坐标为,半径为.(3)若方程x2+y2-x+y+m=0表示圆的方程,则m的取值范围是. 【解析】(1)因为(x-1)2+(y-3)2=1,所以x2+y2-2x-6y+9=0.答案：x2+y2-2x-6y+9=0(2)因为x2+y2+4x+2=0化为标准方程为(x+2)2+y2=2,所以圆心为(-2,0),半径为.答案：(-2,0)(3)因为方程x2+y2-x+y+m=0表示圆的方程,所以(-1)2+12-4m>0,所以m<.答案：m< 圆的一般方程探究1：观察二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0,并结合圆的一般方程,思考下列问题.(1)此二元二次方程与圆的一般方程在形式上有哪些不同?提示：x2,y2项的系数不同;圆的一般方程没有xy这一项. (2)此二元二次方程一定能表示圆的方程吗?提示：不一定.圆的一般方程是关于x,y的二元二次方程,但二元二次方程并不一定表示圆的方程,如方程x2+2xy+y2=0,即x+y=0代表一条直线而不是一个圆. 【拓展延伸】二元二次方程表示圆的条件(1)当B=0,A=C=1时，若D2+E2-4F＞0，才表示圆，圆心为半径为.(2)当B=0,A=C≠1时，若D2+E2-4AF＞0,才表示圆，圆心为半径为 探究2：圆的标准方程与一般方程的各自特点和联系有哪些?提示：(1)圆的标准方程直接反映了圆心和半径,几何特征较明显;而圆的一般方程反映的代数特征较明显.可以通过配方与去括号互化.(2)它们的联系：在两种形式的方程中,都只含有三个待定系数,其中a与D,b与E相联系,在D,E确定后,半径r与F相联系. 探究3：类比点P(x0,y0)与圆(x-a)2+(y-b)2=r2的位置关系的判断方法,完成下列填空.(1)若点P(x0,y0)在圆x2+y2+Dx+Ey+F=0外,则需满足的条件是.(2)若点P(x0,y0)在圆x2+y2+Dx+Ey+F=0内,则需满足的条件是.(3)若点P(x0,y0)在圆x2+y2+Dx+Ey+F=0上,则需满足的条件是.探究提示：将圆的一般方程化为标准方程再判断 提示：(1)因为x2+y2+Dx+Ey+F=0由题意即答案： 【探究提升】关于圆的一般方程的三点说明(1)x2和y2的系数相等,且都不为0(通常都化为1).(2)没有xy这样的二次项.(3)表示圆的前提条件：D2+E2-4F>0,通常情况下先配成(x-a)2+(y-b)2=m,通过观察m与0的关系,说明方程是否为圆的一般方程,而不要死记条件D2+E2-4F>0. 类型一二元二次方程与圆的关系尝试完成下列题目,归纳一个关于x,y的二元二次方程表示圆的两种判断方法. 1.(2013·晋江高一检测)方程x2+y2+2x-4y-6=0表示的图形是()A.以(1,-2)为圆心,为半径的圆B.以(1,2)为圆心,为半径的圆C.以(-1,-2)为圆心,为半径的圆D.以(-1,2)为圆心,为半径的圆2.方程x2+y2-4mx+2my+20m-20=0能否表示圆?若能表示圆,求出圆心和半径. 【解题指南】1.将圆的一般方程化为标准方程即可确定圆心与半径.2.本题可直接利用D2+E2-4F>0是否成立来判断,也可把左端配方,看右端是否为大于零的常数. 【解析】1.选D.将方程x2+y2+2x-4y-6=0化为(x+1)2+(y-2)2=11,因此,圆心为(-1,2),半径为. 2.方法一：由方程x2+y2-4mx+2my+20m-20=0,可知D=-4m,E=2m,F=20m-20,所以D2+E2-4F=16m2+4m2-80m+80=20(m-2)2,因此,当m=2时,D2+E2-4F=0,它表示一个点,当m≠2时,D2+E2-4F>0,原方程表示圆的方程,此时,圆的圆心为(2m,-m),半径为 方法二：原方程可化为(x-2m)2+(y+m)2=5(m-2)2,因此,当m=2时,它表示一个点,当m≠2时,原方程表示圆的方程.此时,圆的圆心为(2m,-m),半径为r=|m-2|. 【技法点拨】方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圆的两种判断方法(1)配方法.对形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的二元二次方程可以通过配方变形成“标准”形式后,观察是否表示圆.(2)运用圆的一般方程的判断方法求解.即通过判断D2+E2-4F是否为正,确定它是否表示圆.提醒：在利用D2+E2-4F>0来判断二元二次方程是否表示圆时,务必注意x2及y2的系数. 类型二圆的一般方程的求法通过解答下列求圆的一般方程的题目,试总结用待定系数法求圆的一般方程的步骤及两种方程形式选择的标准.1.过点(-1,1),且圆心与圆x2+y2-6x-8y+15=0的圆心相同的圆的方程是.2.已知一个圆过P(4,2),Q(-1,3)两点,且在y轴上截得的线段长为,求圆的方程. 【解题指南】1.根据所给圆的方程求出圆心坐标,再代入设出的方程求解.2.设出圆的一般方程,由圆过P,Q两点可得两个方程,再根据圆在y轴上截得的线段长可得到一个方程,通过解方程组可求出圆的方程. 【解析】1.设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0.由已知该圆圆心为(3,4),且过点(-1,1),故所以圆的方程为x2+y2-6x-8y=0.答案：x2+y2-6x-8y=0 2.设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0.令x=0,得y2+Ey+F=0.由已知|y1-y2|=4,其中y1,y2是方程y2+Ey+F=0的两根,所以(y1-y2)2=(y1+y2)2-4y1y2=E2-4F=48.①将P,Q两点的坐标分别代入方程,得 解①②③联立的方程组,得故圆的方程为x2+y2-2x-12=0或 【互动探究】若题2条件不变,试判断原点(0，0)与圆的位置关系.【解析】(1)若圆的方程为x2+y2-2x-12=0,因为02+02-2×0-12=-12＜0,所以原点(0，0)在圆内.(2)若圆的方程为因为所以原点(0,0)在圆外. 【技法点拨】1.待定系数法求圆的方程的三个步骤(1)根据题意,选择标准方程或一般方程.(2)根据条件列出关于a,b,r或D,E,F的方程组.(3)解出a,b,r或D,E,F,代入标准方程或一般方程. 2.对圆的一般方程和标准方程的选择(1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径来列方程的问题,一般采用圆的标准方程,再用待定系数法求出a,b,r.(2)如果已知条件和圆心或半径都无直接关系,一般采用圆的一般方程,再利用待定系数法求出常数D,E,F.提醒：当条件与圆的圆心和半径有关时,常设圆的标准方程;条件与点有关时,常设圆的一般方程. 【拓展类型】与圆有关的轨迹问题试着解答下列题目,体会求轨迹方程的一般步骤及常用方法.1.(2013·惠州高二检测)若Rt△ABC的斜边的两端点A,B的坐标分别为(-3,0)和(7,0),则直角顶点C的轨迹方程为()A.x2+y2=25(y≠0)B.x2+y2=25C.(x-2)2+y2=25(y≠0)D.(x-2)2+y2=252.已知△ABC的边AB长为4,若BC边上的中线为定长3,求顶点C的轨迹方程. 【解题指南】1.根据直角三角形斜边上的中线长等于斜边的一半求解.2.建立适当的坐标系,易知C不能在AB上,设BC中点为点D.C,B,D三点为相关点,利用代入法(也称相关点法)求解. 【解析】1.选C.线段AB的中点为(2，0)，因为△ABC为直角三角形，C为直角顶点，所以C到点(2，0)的距离为|AB|=5,所以点C(x,y)满足=5(y≠0),即(x-2)2+y2=25(y≠0). 2.以直线AB为x轴，AB的中垂线为y轴建立坐标系(如图)，则A(-2,0),B(2,0),设C(x,y),BC中点D(x0,y0).所以因为|AD|=3,所以(x0+2)2+=9，②将①代入②,整理得(x+6)2+y2=36. 因为点C不能在x轴上，所以y≠0.综上，点C的轨迹是以(-6,0)为圆心，6为半径的圆，去掉(-12,0)和(0,0)两点.轨迹方程为(x+6)2+y2=36(y≠0). 【技法点拨】1.用代入法求轨迹方程的一般步骤 2.求轨迹方程的几种常用方法(1)直接法：直接法是将动点满足的几何条件或者等量关系,直接坐标化,列出等式化简即得动点轨迹方程.(2)定义法：若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义(如圆等),可用定义直接求解.(3)相关点法：根据相关点所满足的方程,通过转换而求动点的轨迹方程.(4)参数法：若动点的坐标(x,y)中的x,y分别随另一变量的变化而变化,我们可以以这个变量为参数,建立轨迹的参数方程. 【变式训练】(2013·珠海高二检测)两直线ax+y=1与x-ay=1的交点的轨迹方程是_______.【解题指南】分x≠0且y≠0和x=0且y=0求解. 【解析】当x≠0且y≠0时，两直线方程化为所以化为x2+y2-x-y=0.当x=0且y=0时满足上式，故交点的轨迹方程为x2+y2-x-y=0.答案：x2+y2-x-y=0 1.圆x2+y2-4x+6y=0的圆心坐标是()A.(2,3)B.(-2,3)C.(-2,-3)D.(2,-3)【解析】选D.圆的方程化为标准方程为(x-2)2+(y+3)2=13,故圆心坐标为(2,-3). 2.方程x2+y2+2ax-2ay=0表示的圆()A.关于x轴对称B.关于原点对称C.关于直线x-y=0对称D.关于直线x+y=0对称【解析】选D.圆的方程化为(x+a)2+(y-a)2=2a2,圆心(-a,a).由圆心坐标易知圆心在x+y=0上,所以圆关于直线x+y=0对称. 3.点P(1,1)与圆x2+y2-2x+2y=0的位置关系是()A.在圆外B.在圆内C.在圆上D.不确定【解析】选A.因为12+12-2×1+2×1=2>0,所以点P在圆外. 4.方程x2+axy+y2+bx+y+7=0是圆的一般方程,则a=______;b的取值范围是.【解析】要使方程表示圆的一般方程，需答案：0(-∞,-5)∪(5,+∞) 5.若圆x2+y2-6x+6y+14=0关于直线l：ax+4y-6=0对称,则直线l的斜率是.【解析】圆x2+y2-6x+6y+14=0关于直线l：ax+4y-6=0对称,则直线l通过圆心(3,-3),故3a-12-6=0,解得a=6,故斜率k=-.答案：- 6.判断下列二元二次方程是否表示圆的方程?如果是,求出圆的圆心坐标及半径.(1)4x2+4y2-4x+12y+9=0.(2)4x2+4y2-4x+12y+11=0. 【解析】(1)方程4x2+4y2-4x+12y+9=0,可化为x2+y2-x+3y+=0,又1+32-4×=1＞0,可知此方程表示圆.圆心为半径为.(2)方程4x2+4y2-4x+12y+11=0可化为x2+y2-x+3y+=0,又1+32-4×=-1＜0,可知此方程不表示圆.