广州中考高分突破数学教师课件第16节相似三角形

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第16节相似三角形 ★中考导航★考纲要求1.理解比例的基本性质，理解线段的比、成比例线段，通过建筑、艺术上的实例了解黄金分割．比例的基本性质有：2.掌握相似图形的性质（相似多边形的对应角相等，对应边成比例，面积的比等于对应边比的平方）．3.了解两个三角形相似的概念，掌握两个三角形相似的条件．4.了解图形的位似，能够利用位似将一个图形放大或缩小．5.通过典型实例观察和认识现实生活中物体的相似，利用图形的相似解决一些实际问题（如利用相似测量旗杆的高度）． 考点年份题型分值近五年广州市考试内容高频考点分析1.比例线段未考在近五年广州市中考，本节考查的重点是相似三角形的判定与性质，多与圆、二次函数、梯形、三角形等综合考查，综合性较强，难度中等偏难.2.相似三角形的判定与性质2013解答题3相似三角形的判定与性质2011解答题3相似三角形的判定与性质2010解答题3相似三角形的判定与性质3.位似图形未考 ★考点梳理★ 对应边相等成比例相似比相似比的平方 位似比位似比位似比的平方 ★课前预习★ 2.（2014•邵阳）如图，在▱ABCD中，F是BC上的一点，直线DF与AB的延长线相交于点E，BP∥DF，且与AD相交于点P，请从图中找出一组相似的三角形：．解析：∵BP∥DF，∴△ABP∽△AED．答案△ABP∽△AED． 3.（2014•张家界）如图，△ABC中，D、E分别为AB、AC的中点，则△ADE与△ABC的面积比为． 4.（2014•佛山）若两个相似三角形的面积之比为1：4，则它们的周长之比为（　　）A．1：2B．1：4C．1：5D．1：16解析：∵两个相似三角形的面积之比为1：4，∴它们的相似比为1：2，∴它们的周长之比为1：2．答案A． ★考点突破★ 中考预测2.美是一种感觉，本应没有什么客观的标准，但在自然界里，物体形状的比例却提供了在匀称与协调上的一种美感的参考，在数学上，这个比例称为黄金分割．在人体躯干（由脚底至肚脐的长度）与身高的比例上，肚脐是理想的黄金分割点，也就是说，若此比值越接近0.618，就越给别人一种美的感觉．如果某女士身高为1.65m，躯干与身高的比为0.60，为了追求美，她想利用高跟鞋达到这一效果，那么她选的高跟鞋的高度约为（　　）A．2.5cmB．5.3cmC．7.8cmD．8.5cm 考点归纳：本考点近些年广州中考均未考查，但本考点是初中数学的重要内容，因此有必要掌握.本考点一般出题考查难度中等，为中等难度题，解答的关键是掌握线段成比例和黄金分割.判定四条线段是否成比例，只要把四条线段按大小顺序排列好，判断前两条线段之比与后两条线段之比是否相等即可，求线段之比时，要先统一线段的长度单位，最后的结果与所选取的单位无关系． 考点2相似三角形的判定与性质（★★）母题集训1.（2013广东）如图，矩形ABCD中，以对角线BD为一边构造一个矩形BDEF，使得另一边EF过原矩形的顶点C．（1）设Rt△CBD的面积为S1，Rt△BFC的面积为S2，Rt△DCE的面积为S3，则S1S2+S3（用“＞”、“=”、“＜”填空）；（2）写出如图中的三对相似三角形，并选择其中一对进行证明． 3.（2009茂名）如图，甲，乙两楼相距20米，甲楼高20米，小明站在距甲楼10米的A处目测得点A与甲，乙楼顶B、C刚好在同一直线上，若小明的身高忽略不计，则乙楼的高度是米． 4.（2009梅州）如图，梯形ABCD中，AB∥CD，点F在BC上，连DF与AB的延长线交于点G．（1）求证：△CDF∽△BGF；（2）当点F是BC的中点时，过F作EF∥CD交AD于点E，若AB=6cm，EF=4cm，求CD的长． 解析：（1）利用平行线的性质可证明△CDF∽△BGF．（2）根据点F是BC的中点这一已知条件，可得△CDF≌△BGF，则CD=BG，只要求出BG的长即可解题．答案：（1）证明：∵梯形ABCD，AB∥CD，∴∠CDF=∠G，∠DCF=∠GBF，∴△CDF∽△BGF； （2）由（1）△CDF∽△BGF，又∵F是BC的中点，BF=FC，∴△CDF≌△BGF，∴DF=GF，CD=BG，∵AB∥DC∥EF，F为BC中点，∴E为AD中点，∴EF是△DAG的中位线，∴2EF=AG=AB+BG．∴BG=2EF﹣AB=2×4﹣6=2，∴CD=BG=2cm． 中考预测5.如图，点P在平行四边形ABCD的CD边上，连接BP并延长与AD的延长线交于点Q．（1）求证：△DQP∽△CBP；（2）当△DQP≌△CBP，且AB=8时，求DP的长． 6.两个相似三角形的相似比是1：2，其中较小三角形的周长为6cm，则较大的三角形的周长为（　　）A．3cmB．6cmC．9cmD．12cm解析：∵两个相似三角形的相似比是1：2，∴它们的周长之比也是1：2，∵较小三角形的周长为6cm，∴较大的三角形的周长为2×6=×12（cm）．答案：D． 7.如图所示，某班上体育课，甲、乙两名同学分别站在C、D的位置时，乙的影子恰好在甲的影子里边，已知甲身高1.8米，乙身高1.5米，甲的影长是6米，则甲、乙同学相距米． 8.如图1，在△ABC中，D、E、F分别为三边的中点，G点在边AB上，△BDG与四边形ACDG的周长相等，设BC=a、AC=b、AB=c．（1）求线段BG的长；（2）求证：DG平分∠EDF；（3）连接CG，如图2，若△BDG与△DFG相似，求证：BG⊥CG． 考点归纳：本考点曾在2009年广州市中考考查，为次高频考点.考查难度中等，为中等难度题，解答的关键是掌握相似三角形.本考点应注意掌握的知识点：判定三角形相似的几种基本思路：（1）条件中若有平行线，可采用相似三角形基本定理；（2）条件中若有一对等角，可再找一对等角或再找夹边成比例；（3）条件中若有两边对应成比例，可找夹角相等；（4）条件中若有一对直角，可考虑再找一对等角或证明斜边、直角边对应成比例； （5）条件中若有等腰关系，可找顶角相等或一对底角相等，也可找底和腰对应成比例.相似三角形的性质：（1）对应角相等，对应边的比相等；（2）对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比、周长的比都等于相似比，面积的比等于相似比的平方.要注意面积比等于相似比的平方，不要与周长比混淆. 考点3位似图形（★★）母题集训1.（2011广州）如图，以点O为位似中心，将五边形ABCDE放大后得到五边形A′B′C′D′E′，已知OA=10cm，OA′=20cm，则五边形ABCDE的周长与五边形A′B′C′D′E′的周长的比值是． 解析：∵五边形ABCDE与五边形A′B′C′D′E′位似，OA=10cm，OA′=20cm，∴五边形ABCDE∽五边形A′B′C′D′E′，且相似比为：OA：OA′=10：20=1：2，∴五边形ABCDE的周长与五边形A′B′C′D′E′的周长的比为：OA：OA′=1：2．答案：1：2． 2.（2010茂名）如图，已知△OAB与△OA′B′是相似比为1：2的位似图形，点O为位似中心，若△OAB内一点P（x，y）与△OA′B′内一点P′是一对对应点，则P′的坐标是． 解析：∵P（x，y），相似比为1：2，点O为位似中心，∴P′的坐标是（﹣2x，﹣2y）．答案：（﹣2x，﹣2y）. 中考预测3.如图，小红用灯泡O照射三角尺ABC，在墙上形成影子△A′B′C′．现测得OA=5cm，OA′=10cm，△ABC的面积为40cm2，则△A′B′C′的面积为． 解析：∵OA：OA′=1：2，可知OB：OB′=1：2，∵∠AOB=∠A′OB′，∴△AOB∽△A′OB′，∴AB：A′B′=1：2，∴△ABC的面积：△A′B′C′的面积为1：4，又△ABC的面积为40cm2，则△A′B′C′的面积为160cm2．答案：160cm2． 4.△OAB的坐标分别为O（0，0），A（0，4），B（3，0），以原点为位似中心，在第一象限将△OAB扩大，使变换得到的△OEF与△OAB对应边的比为2：1，（1）画出△OEF；（2）求四边形ABFE的面积． 规律总结：画位似图形的一般步骤为：①确定位似中心，②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据相似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形． 考点归纳：本考点曾在2011年广州市中考考查，为次高频考点.考查难度中等，为中等难度题，解答的关键是掌握位似图形的性质.本考点应注意掌握的知识点：（1）两个位似图形的主要特征是：每对位似对应点与位似中心共线；不经过位似中心的对应线段平行.位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离比等于位似比；（2）位似是特殊的相似，与相似不同的是对应点的连线相交于一点，但位似图形未必都是位似的．