§8.4双曲线的简单几何性质教案三：第三课时

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1、●教学目标（一）能力训练要求1.深化双曲线的性质.2.提高解题的综合能力.（二）德育渗透目标通过综合题的解题训练，使学生清楚综合问题是简单问题的复合，学会抓主要矛盾、分解矛盾、解决矛盾的方法.●教学重点学生解题综合能力的培养和提高.●教学难点学生解题综合能力的培养和提高.●教学方法师生共同讨论法通过对具体问题的分析与讨论，使学生对综合问题有一个清楚的认识，并学会将问题分解、各个击破、通过综合问题的解答，提高学生的运算能力、探索能力、分析问题、解决问题的能力.●教具准备投影片三张第一张：本课时教案的例4（记作§8.4.3A）第二张：本课时教案的例5（

2、记作§8.4.3B）第三张：本课时教案后面的预习内容及预习提纲.（记作§8.4.3C）●教学过程Ⅰ.课题导入［师］上节课我们学习了双曲线标准方程的求法，具有实际意义的问题的求解方法，请同学们回忆一下，解具有实际意义的问题的关键是什么？［生］解具有实际意义的问题，关键是把它抽象成数学问题，将已知条件转化成数学语言.［师］中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线有几条准线？它们有什么特征呢？［生］有两条准线，都垂直于实轴且关于虚轴对称.［师］对于双曲线、椭圆，无论其中心在哪里，双曲线都有六线四点四个不变量，椭圆都有四线六点四个不变量，那么对于焦点在同一条坐标轴上，标准方程表

3、示的双曲线与椭圆，线点不变量从形式上看哪些是相同的，哪些是不同的？［生］除了曲线独有的，其余都是相同的，即从形式上看，有四线四点四个不变量是相同的.双曲线的两条渐近线是独有的，椭圆的短轴的两个端点是独有的.［师］好！同学们对椭圆、双曲线的基本特性已经掌握，下面，我们来看几个综合性的题目.（打出投影片§8.4.3A）Ⅱ.讲授新课［例4］过点（0，3）的直线l与双曲线,只有一个公共点，求直线l的方程.分析：直线l满足两个条件：一是过点（0，3），二是与双曲线只有一个公共点，可以利用点斜式设出l的方程，再利用与双曲线只有一个公共点，确定直线的斜率.从而求出直线l的方程，但是直

4、线l与双曲线只有一个公共点，怎样反映呢？［生］直线与双曲线只有一个公共点，说明直线方程与双曲线方程组成的方程组只有一组解.［师］怎样判定方程组只有一组解呢？［生］联立直线方程与双曲线方程，消元，整理成只含有某一个变量的一元二次方程，看Δ的情况即可，当Δ=0时，方程有两组相同的实数解，实质上方程组解的个数只有一个，说明直线与双曲线只有一个公共点.［师］这时直线与双曲线的位置关系怎样？［生］相切.［师］好！直线与曲线相切时只有一个公共点，但只有一个公共点的直线与曲线一定相切吗？（学生思考，有相当数量的学生说一定相切，这时教师再予以启发）［师］考虑一下与双曲线的渐近线平

5、行的直线与双曲线有几个交点？［生］一个公共点，只有一个公共点.［师］那么能不能说直线与双曲线只有一个公共点，这条直线就一定与双曲线相切吗？［生］不能.［师］那么直线平行于双曲线的渐近线时，把直线方程与双曲线方程联立，消元，整理成的一元方程有什么特点呢？（学生动手探索）［生］消元整理成的方程是一元一次方程.［师］好！一般地，直线和二次曲线的位置关系，可通过讨论直线方程与二次曲线方程组成的方程组的实数解的个数来确定，通常消去方程组中变量y（或x）.若得到关于变量x(或y)的一元二次方程，考虑该一元二次方程的判别式Δ，则有：Δ＞0直线与曲线相交（有两个公共点）Δ=0直

6、线与曲线相切（有一个公共点）Δ＜0直线与曲线相离（没有公共点）若得到关于变量x（或y）的一元一次方程，则直线与曲线相交（只有一个公共点），这时直线平行于双曲线的渐近线或后面我们将要学到的抛物线的对称轴或平行于对称轴的直线.（为后面的学习在这里打下伏笔）下面请同学们将这个题的求解过程写出来.（一位同学到黑板上做）［生］解：设直线l的方程为y=kx+3将其代入双曲线中，得化简整理，得（3-4k2）x2-24kx-48=0当3-4k2≠0时，Δ=(-24k)2-4(3-4k2)(-48)=576k2-768k2+576=-192k2+576=0∴k2=3即k

7、=±时，直线与双曲线只有一个公共点当3-4k2=0时，即k=±时，直线与双曲线的渐近线平行，此时直线与双曲线也只有一个公共点.∴所求直线l的方程为：y=±x+3或y=±x+3［师］对联立方程，消元后得到的一元方程，由于二次项系数含有变量k，绝对不敢忽略讨论，否则将导致解的不完整.我们继续看一个题目.（打出投影片§8.4.3B）［例5］已知l1、l2是过点P（-，0）的两条互相垂直的直线，且l1、l2与双曲线y2-x2=1各有两个交点，且分别为A1、B1和A2、B2.