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1、哈尔滨市第一中学2008级高一教学设计——学案8.4双曲线的简单几何性质第4节双曲线的简单几何性质撰写：刘文文审核：胡海欧三点剖析：一、教学大纲及考试大纲要求：1．掌握双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线等几何性质2．掌握标准方程中的几何意义3．能利用上述知识进行相关的论证、计算、作双曲线的草图以及解决简单的实际问题二．重点与难点教学重点：双曲线的渐近线、离心率、双曲线的另一种定义及其得出过程教学难点：渐近线几何意义的证明，离心率与双曲线形状的关系，双曲线的另一种定义的得出过程三.（1）本节知识理解椭圆双曲线方程图形顶点坐标（±a,0）
2、(0,±b)(0,±a)(±b,0)(±a,0)(0,±a)对称轴x=0,y=0焦点坐标(±c,0)(0,±c)(±c,0)(0,±c)对称中心（0，0）离心率准线方程渐近线方程（2）要点诠释1．范围、对称性由标准方程，从横的方向来看，直线x=-a,x=a之间没有图象，从纵的方向来看，随着x的增大，y的绝对值也无限增大，所以曲线在纵方向上可无限伸展，不像椭圆那样是封闭曲线双曲线不封闭，但仍称其对称中心为双曲线的中心2．顶点顶点：特殊点：实轴：长为2a,a叫做实半轴长虚轴：长为2b，b叫做虚半轴长双曲线只有两个顶点，而椭圆则有四个顶点，
3、这是两者的又一差异3．渐近线过双曲线的两顶点，作Y轴的平行线，经过作X轴的平行线，四条直线围成一个矩形矩形的两条对角线所在直线方程是（），这两条直线就是双曲线的渐近线4．等轴双曲线定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，这样的双曲线叫做等轴双曲线等轴双曲线的性质：（1）渐近线方程为：；（2）渐近线互相垂直；（3）离心率等轴双曲线可以设为：，当时交点在x轴，当时焦点在y轴上5．共渐近线的双曲线系如果已知一双曲线的渐近线方程为，那么此双曲线方程就一定是：或写成6．双曲线的草图第15页共15页哈尔滨市第一中学2008级高一教学设计——学
4、案8.4双曲线的简单几何性质具体做法是：画出双曲线的渐近线，先确定双曲线的顶点及第一象限内任意一点的位置，然后过这两点并根据双曲线在第一象限从渐近线下方逐渐接近渐近线的特点画出双曲线的一部分，最后利用双曲线的对称性画出完整的双曲线7．离心率双曲线的焦距与实轴长的比，叫做双曲线的离心率范围：双曲线形状与e的关系：，e越大，即渐近线的斜率的绝对值就大，这是双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔由此可知，双曲线的离心率越大，它的开口就越阔8．共轭双曲线以已知双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴，这样得到的双曲线称为原双曲线的共轭双曲线区别：三量a,b,
5、c中a,b不同（互换）c相同共用一对渐近线双曲线和它的共轭双曲线的焦点在同一圆上确定双曲线的共轭双曲线的方法：将1变为-1共用同一对渐近线的双曲线的方程具有什么样的特征：可设为，当时交点在x轴，当时焦点在y轴上9．双曲线的第二定义：到定点F的距离与到定直线的距离之比为常数的点的轨迹是双曲线其中，定点叫做双曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线常数e是双曲线的离心率．10．准线方程：对于来说，相对于左焦点对应着左准线，相对于右焦点对应着右准线；位置关系：焦点到准线的距离（也叫焦参数）对于来说，相对于上焦点对应着上准线；相对于下焦点对应着下准
6、线11.双曲线的焦半径定义：双曲线上任意一点M与双曲线焦点的连线段，叫做双曲线的焦半径焦半径公式的推导：利用双曲线的第二定义，设双曲线，是其左右焦点则由第二定义：，同理即有焦点在x轴上的双曲线的焦半径公式：同理有焦点在y轴上的双曲线的焦半径公式：（其中分别是双曲线的下上焦点）点评：双曲线焦半径公式与椭圆的焦半径公式的区别在于其带绝对值符号，如果要去绝对值，需要对点的位置进行讨论。两种形式的区别可以记为：左加右减，上减下加（带绝对值号）12．焦点弦：定义：过焦点的直线割双曲线所成的相交弦焦点弦公式：可以通过两次焦半径公式得到：设两交点第
7、15页共15页哈尔滨市第一中学2008级高一教学设计——学案8.4双曲线的简单几何性质当双曲线焦点在x轴上时，焦点弦只和两焦点的横坐标有关：过左焦点与左支交于两点时：过右焦点与右支交于两点时：当双曲线焦点在y轴上时，过左焦点与左支交于两点时：过右焦点与右支交于两点时：13．通径：定义：过焦点且垂直于对称轴的相交弦直接应用焦点弦公式，得到14.直线与双曲线的位置关系精题精讲【例1】求双曲线的顶点坐标、焦点坐标，实半轴长、虚半轴长和渐近线方程，并作出草图分析：只要紧扣有关概念和方法，就易解答解：把方程化为标准方程由此可知，实半轴长a＝1，
8、虚半轴长b＝2．顶点坐标是（－1，0），（1，0）焦点的坐标是(－，0)，(，0)．渐近线方程为，即【例2】求与双曲线共渐近线且过的双曲线的方程分析：因所求的双曲线与已知双曲线共渐近线，故可先设出双曲线系，再把已知点代入
