浅析原函数存在性问题qqqq

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1、浅析原函数存在性问题摘要在微积分学中，原函数存在是其理论的核心.原函数存在定理初步揭示了积分学中的定积分与原函数之间的联系.而牛顿—莱布尼兹公式将定积分的计算问题转化为求原函数的问题，因此，讨论原函数存在性问题是十分必要的.本文首先给出了原函数的基本概念和相关定理；其次得出了原函数存在的条件；再次从原函数与定积分的联系、三类可积函数的原函数存在性问题、原函数存在时函数的可积性问题三方面阐述了函数的可积性与原函数的存在性是相互独立形成的概念，他们之间是互不蕴含的关系.最后应用原函数的一些定理去解答了若干例子.关键词原函数定积分微

2、积分基本定理间断点目录引言3第1章原函数的基本概念及其相关定理4第2章原函数存在的条件5第3章函数的可积性与原函数存在性的联系73.1原函数与定积分的联系73.2函数可积与原函数存在无必然联系9第4章应用举例12总结14致谢15参考文献16引言微积分基本定理即原函数存在定理和牛顿—莱布尼兹公式，原函数存在定理的重要意义在于肯定了连续函数的原函数是存在的，初步揭示了积分学中的定积分与原函数(或不定积分)之间的联系.牛顿—莱布尼兹公式表明一个连续函数在区间上的定积分等于它的任意一个原函数在区间上的增量，它是微分学和积分学之间的桥梁

3、.因此无论是在理论上还是在应用上都具有十分重要的作用.在现行的数学分析和高等数学教材中，大多数教材是先讲不定积分，然后再讲原函数存在定理，而在定积分的计算中，又通过牛顿—莱布尼兹公式将定积分转化为被积函数的一个原函数在上下限处函数值的差值.从而给定积分的计算提供了一个简单的而且有效地方法，也是大家在定积分中普遍应用的，少数数学分析教材将牛顿—莱布尼兹定理中关于的条件由在上连续减弱为在上黎曼可积，我们会想当然的将函数可积性与原函数存在性两个重要概念联系起来，得出“若函数可积，则原函数必定存在”或“原函数存在的函数必定可积”等错误

4、结论.那么函数的可积性和原函数的存在性之间到底有什么样的关系呢？再者，由原函数存在定理可知，连续的函数必然存在原函数，相应的不存在原函数的函数必为不连续的函数，那么什么样的函数不存在原函数，实质上就是什么样的不连续函数不存在原函数，也就是说，原函数存在的必要条件是什么？大多数高等数学和数学分析教材对这两个问题都没有进行详细的探讨.因此我们有必要对这两个问题做进一步深入的探讨.第1章原函数的基本概念及其相关定理定义的函数和在区间上都有定义，若有，则称为在区间上的一个原函数.例如：是的一个原函数，易知和也都是的原函数.因此，一个函

5、数如果有一个原函数，就有许许多多的原函数.原函数概念是为解决积分的运算而提出来的.定理1.1若函数在上连续，且存在原函数，即，，则在上可积，且称为牛顿-莱布尼兹公式.注：定理中存在原函数这个条件也可不加，因为由原函数存在定理就可得出连续函数必存在原函数.牛顿—莱布尼兹公式沟通了微分学和积分学之间的关系.表明了一个连续函数在区间上的定积分等于它的任意一个原函数在区间上的增量，即将求定积分计算转化为求原函数的问题.定理1.2若在上连续，则由所定义的函数在上处处可导，且称为原函数存在定理.原函数存在定理肯定了连续函数必定存在原函数,

6、揭示了积分学中的定积分与原函数(或不定积分)之间的联系.第2章原函数存在的条件定理2.1(原函数存在的充分条件)若函数在区间上连续，则函数存在原函数.很明显原函数存在定理肯定了这一结论.反过来，如果一个原函数存在，这个函数是否一定连续呢？我们来看下面的例子例2.1当时，；这个结果在点不适用，，故得：注意不存在，但却在整个实轴上存在原函数.显然连续不是函数存在原函数的必要条件.但是我们可以断言：如果一个函数不存在原函数，则必为不连续函数，所以什么函数不存在原函数，实质上就是什么样的不连续函数不存在原函数？也就是说什么样的不连续函

7、数不能成为导函数.现在我们讨论导函数的间断性.如果导函数不连续,是否会出现常见的那几种间断呢?回答是否定的.下面给出证明：引理1设在闭区间上连续,在开区间内可微,且(有限或无穷),则在点右导数.证明见参考文献[2].定理2.2在某一区间内处处有定义的导函数，如在内有间断,则必为振荡间断点.证明设在内某一点处有间断,那么由引理1得肯定不是第一类间断点.若在点点左、右极限中有一个为无穷，不妨设，则由引理1，故亦不存在，出现矛盾.对于什么样的函数存在原函数，由以上定理，我们有：定理2.3(原函数存在的必要条件Ⅰ)若函数在某个区间内存

8、在原函数,若存在间断点，那么必为振荡间断点.推论定义在某个区间内的函数,只要有可去间断点,有跃度,或者在间断点处的左、右极限中有一个为无穷,则在内必不存在原函数.但定理2.3中的必要条件不是原函数存在的充分条件，由此看下面这个例子：例2.2显然在左右极限都不存在，故是的振荡间