初中数学竞赛精品标准教程及练习（67）

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1、智浪教育--普惠英才文库初中数学竞赛精品标准教程及练习(67)参数法证平几一、内容提要1.联系数量间关系的变数叫做参变数，简称参数.2.有一类平面几何的证明，可以根据图形性质引入参数，布列方程，通过计算来完成，我们称它为参数法.其关键是正确选定参数和准确的进行计算.二、例题例1如图已知：AB是⊙O的直径，C是半圆上的一点，CD⊥AB于D，⊙N与⊙O内切且与AB、CD分别切于E，F.求证：AC=AE.分析：选取两圆半径为参数，通过半径联系AC，AE的关系.证明：设⊙O，⊙N半径分别为R和r，连接ON，NE.根据勾股定理：OE=

2、=，AE=OA＋OE＝R+；OD=OE－r=－r，　　AD=OA＋OD＝R+－r根据射影定理AC2=AD×AB=(R+－r)×2R　　　=2R2+2R－2Rr=R2+2R+(R2－2Rr)=(R+)2∴AC=R+.　∴AC=AE例2.已知：△ABC的内切圆I和边AB，BC，CA分别切于D，E，F，AC×BC＝2AD×DB.求证：∠C＝Rt∠.证明：设AD＝x,　则DB＝c－x.代入AC×BC＝2AD×DB.得　　ab=2x(c－x).2x2－2cx+ab=0.∴x==,　　　又根据切线长定理得x＝，∴＝.　　4智浪教育--普

3、惠英才文库c2－2ab=a2－2ab+b2.∴　c2=a2+b2.∴　∠C＝Rt∠.例3.已知：等边三角形ABC中，P是中位线DE上一点，BP，CP的延长线分别交AC于F，交AB于G.求证：.证明：设△ABC边长为a,　PD＝m,　PE=n,　BG=x,　CF=y.∵DE是△ABC的中位线，　∴DE∥BC，DE＝BC.∴　　（1）＋（2）：.∴，　　　，　　　∴.∴.例4.已知：如图四边形ABCD中，过点B的直线交AC于M，交CD于N，且S△ABC∶S△ABD∶S△BCD＝1∶3∶4.求证：M，N平分AC和CD.证明：设S△

4、ABC＝1，　则S△ABD＝3，　S△BCD＝4，　S△ACD＝3＋4－1＝6.设＝k(0

5、已知：如图△ABC中，AD是高，AB＋DC＝AC＋BD.求证：AB＝AC.证明：设AB＝c，AC＝b,BD=m,DC=n.根据勾股定理得　　　　　∴c－b=b－c，b=c.即AB＝AC.例6.如图已知：一条直线截△ABC三边AB，BC，AC或延长线于D，E，F.求证：　　　　　　（曼奈拉斯定理）证明：设∠BDE＝α，∠DEB＝β，∠F＝γ.根据正弦定理：　在△BDE中，；在△CEF中，；在△ADF中，.4智浪教育--普惠英才文库　　　　∵Sin(180=Sinα.∴.××.即.三、练习671.　已知：如图三条弦AB，CD，E

6、F两两相交于G，H，I.IA＝GD＝HE，IC＝GF＝HB.求证：△GHI是等边三角形.2.　已知：在矩形ABCD中，AP⊥BD于P，PE⊥BC于E，PF⊥CD于F.求证：PA3＝PE×PF×BD3.　已知：△ABC的两条高AD，BE相交于H，求证：过A，B，H三点的圆与过A，C，H三点的圆是等圆.4.　已知：AB是⊙O的直径，P是半圆上的一点，PC⊥AB于C，以PC为半径的⊙P交⊙O于D，E.求证：DE平分PC.5.　已知：△ABC的两条高AD和BE相交于P，且AD＝BC，F是BC的中点.求证：PD＋PF＝BC6.　已知：

7、平行四边形ABCD中，∠A＜∠B，AC2×BD2＝AB4＋AD4.求证：∠A＝∠B.7.　求证：四边形内切圆的圆心，它到一组对角的顶点的距离的平方的比，等于该组角的　　两边的乘积的比.8.　已知：AB是⊙O的直径，E是半圆上的一点，过点E作⊙O的切线和过A，B的⊙O　的两条切线分别相交于D，C，四边形ABCD的对角线AC，BD交于F，EF的延长线交AB于H.求证：EF=FH.9.　已知：如图⊙M和⊙N相交于A，B，公共弦AB的延长线交两条外公切线于P，Q.求证：PA=QB；　PQ2=AB2+CD2.10.已知：正方形ABCD

8、内一点P，满足等式PA∶PB∶PC＝1∶2∶3.求证：∠APB＝135.　11.　一个直角三角形斜边为c,内切圆半径是r,求内切圆面积与直角三角形面积的比.　　　　（提示：引入参数a和b表示两直角边）　　　　　　　4智浪教育--普惠英才文库练习67参考答案：1.设IA＝a,　IC＝b,　I