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时间:2018-12-14
《初中数学竞赛精品标准教程及练习67:参数法证平几(1)》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、初中数学竞赛精品标准教程及练习(67)参数法证平几一、内容提要1.联系数量间关系的变数叫做参变数,简称参数.2.有一类平面几何的证明,可以根据图形性质引入参数,布列方程,通过计算来完成,我们称它为参数法.其关键是正确选定参数和准确的进行计算.二、例题例1如图已知:AB是⊙O的直径,C是半圆上的一点,CD⊥AB于D,⊙N与⊙O内切且与AB、CD分别切于E,F.求证:AC=AE.分析:选取两圆半径为参数,通过半径联系AC,AE的关系.证明:设⊙O,⊙N半径分别为R和r,连接ON,NE.根据勾股定理:OE=
2、=,AE=OA+OE=R+;OD=OE-r=-r, AD=OA+OD=R+-r根据射影定理AC2=AD×AB=(R+-r)×2R =2R2+2R-2Rr=R2+2R+(R2-2Rr)=(R+)2∴AC=R+. ∴AC=AE例2.已知:△ABC的内切圆I和边AB,BC,CA分别切于D,E,F,AC×BC=2AD×DB.求证:∠C=Rt∠.证明:设AD=x, 则DB=c-x.代入AC×BC=2AD×DB.得 ab=2x(c-x).2x2-2cx+ab=0.∴x==, 又根据切线长定理得x=,∴
3、=. c2-2ab=a2-2ab+b2.∴ c2=a2+b2.∴ ∠C=Rt∠.例3.已知:等边三角形ABC中,P是中位线DE上一点,BP,CP的延长线分别交AC于F,交AB于G.求证:.证明:设△ABC边长为a, PD=m, PE=n, BG=x, CF=y.∵DE是△ABC的中位线, ∴DE∥BC,DE=BC.∴ (1)+(2):.∴, , ∴.∴.例4.已知:如图四边形ABCD中,过点B的直线交AC于M,交CD于N,且S△ABC∶S△ABD∶S△BCD=1∶3∶4.求证:M,N平分A
4、C和CD.证明:设S△ABC=1, 则S△ABD=3, S△BCD=4, S△ACD=3+4-1=6.设=k(05、分AC和CD.例5.已知:如图△ABC中,AD是高,AB+DC=AC+BD.求证:AB=AC.证明:设AB=c,AC=b,BD=m,DC=n.根据勾股定理得 ∴c-b=b-c,b=c.即AB=AC.例6.如图已知:一条直线截△ABC三边AB,BC,AC或延长线于D,E,F.求证: (曼奈拉斯定理)证明:设∠BDE=α,∠DEB=β,∠F=γ.根据正弦定理: 在△BDE中,;在△CEF中,;在△ADF中,. ∵Sin(180=Sinα.∴.××.即.三、练习671. 已知:如图三6、条弦AB,CD,EF两两相交于G,H,I.IA=GD=HE,IC=GF=HB.求证:△GHI是等边三角形.2. 已知:在矩形ABCD中,AP⊥BD于P,PE⊥BC于E,PF⊥CD于F.求证:PA3=PE×PF×BD3. 已知:△ABC的两条高AD,BE相交于H,求证:过A,B,H三点的圆与过A,C,H三点的圆是等圆.4. 已知:AB是⊙O的直径,P是半圆上的一点,PC⊥AB于C,以PC为半径的⊙P交⊙O于D,E.求证:DE平分PC.5. 已知:△ABC的两条高AD和BE相交于P,且AD=BC,F是BC7、的中点.求证:PD+PF=BC6. 已知:平行四边形ABCD中,∠A<∠B,AC2×BD2=AB4+AD4.求证:∠A=∠B.7. 求证:四边形内切圆的圆心,它到一组对角的顶点的距离的平方的比,等于该组角的 两边的乘积的比.8. 已知:AB是⊙O的直径,E是半圆上的一点,过点E作⊙O的切线和过A,B的⊙O 的两条切线分别相交于D,C,四边形ABCD的对角线AC,BD交于F,EF的延长线交AB于H.求证:EF=FH.9. 已知:如图⊙M和⊙N相交于A,B,公共弦AB的延长线交两条外公切线于P,Q.求证8、:PA=QB; PQ2=AB2+CD2.10.已知:正方形ABCD内一点P,满足等式PA∶PB∶PC=1∶2∶3.求证:∠APB=135. 11. 一个直角三角形斜边为c,内切圆半径是r,求内切圆面积与直角三角形面积的比. (提示:引入参数a和b表示两直角边) 练习67参考答案:1.设IA=a, IC=b, IH=x, HQ=y用相交弦定理列方程组.2.引入参数α,设∠DBC=α,PA2=PB×PD=…3.设∠ABH=∠ACH=α,用A
5、分AC和CD.例5.已知:如图△ABC中,AD是高,AB+DC=AC+BD.求证:AB=AC.证明:设AB=c,AC=b,BD=m,DC=n.根据勾股定理得 ∴c-b=b-c,b=c.即AB=AC.例6.如图已知:一条直线截△ABC三边AB,BC,AC或延长线于D,E,F.求证: (曼奈拉斯定理)证明:设∠BDE=α,∠DEB=β,∠F=γ.根据正弦定理: 在△BDE中,;在△CEF中,;在△ADF中,. ∵Sin(180=Sinα.∴.××.即.三、练习671. 已知:如图三
6、条弦AB,CD,EF两两相交于G,H,I.IA=GD=HE,IC=GF=HB.求证:△GHI是等边三角形.2. 已知:在矩形ABCD中,AP⊥BD于P,PE⊥BC于E,PF⊥CD于F.求证:PA3=PE×PF×BD3. 已知:△ABC的两条高AD,BE相交于H,求证:过A,B,H三点的圆与过A,C,H三点的圆是等圆.4. 已知:AB是⊙O的直径,P是半圆上的一点,PC⊥AB于C,以PC为半径的⊙P交⊙O于D,E.求证:DE平分PC.5. 已知:△ABC的两条高AD和BE相交于P,且AD=BC,F是BC
7、的中点.求证:PD+PF=BC6. 已知:平行四边形ABCD中,∠A<∠B,AC2×BD2=AB4+AD4.求证:∠A=∠B.7. 求证:四边形内切圆的圆心,它到一组对角的顶点的距离的平方的比,等于该组角的 两边的乘积的比.8. 已知:AB是⊙O的直径,E是半圆上的一点,过点E作⊙O的切线和过A,B的⊙O 的两条切线分别相交于D,C,四边形ABCD的对角线AC,BD交于F,EF的延长线交AB于H.求证:EF=FH.9. 已知:如图⊙M和⊙N相交于A,B,公共弦AB的延长线交两条外公切线于P,Q.求证
8、:PA=QB; PQ2=AB2+CD2.10.已知:正方形ABCD内一点P,满足等式PA∶PB∶PC=1∶2∶3.求证:∠APB=135. 11. 一个直角三角形斜边为c,内切圆半径是r,求内切圆面积与直角三角形面积的比. (提示:引入参数a和b表示两直角边) 练习67参考答案:1.设IA=a, IC=b, IH=x, HQ=y用相交弦定理列方程组.2.引入参数α,设∠DBC=α,PA2=PB×PD=…3.设∠ABH=∠ACH=α,用A
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