第16章教材习题解答

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1、E2EE1q2ACq1Bθ图12.3OO`BABL/5ω图16.1第16章电磁场16.1一条铜棒长为L=0.5m，水平放置，可绕距离A端为L/5处和棒垂直的轴OO`在水平面内旋转，每秒转动一周．铜棒置于竖直向上的匀强磁场中，如图所示，磁感应强度B=1.0×10-4T．求铜棒两端A、B的电势差，何端电势高．解：设想一个半径为R的金属棒绕一端做匀速圆周运动，角速度为ω，经过时间dt后转过的角度为dθ=ωdt，扫过的面积为dS=R2dθ/2，切割的磁通量为dΦ=BdS=BR2dθ/2，动生电动势的大小为ε=dΦ/dt=ωBR2/2．

2、dθLωoRl根据右手螺旋法则，圆周上端点的电势高．AO和BO段的动生电动势大小分别为，．由于BO>AO，所以B端的电势比A端更高，A和B端的电势差为=4.71×10-4(V)．[讨论]如果棒上两点到o的距离分别为L和l，则两点间的电势差为．oxvABIθxArldl图16.216.2一长直载流导线电流强度为I，铜棒AB长为L，A端与直导线的距离为xA，AB与直导线的夹角为θ，以水平速度v向右运动．求AB棒的动生电动势为多少，何端电势高？解：在棒上长为l处取一线元dl，在垂直于速度方向上的长度为dl⊥=dlcosθ；线元到直线

3、之间的距离为r=xA+lsinθ，直线电流在线元处产生的磁感应强度为．由于B，v和dl⊥相互垂直，线元上动生电动势的大小为，棒的动生电动势为，A端的电势高．[讨论]（1）当θ→π/2时，cotθ=cosθ/sinθ→0，所以ε→0，就是说：当棒不切割磁力线时，棒中不产生电动势．（2）当θ→0时，由于，所以，这就是棒垂直割磁力线时所产生电动势．BABRv0图16.316.3如图所示，平行导轨上放置一金属杆AB，质量为m，长为L．在导轨上的端接有电阻R．匀强磁场B垂直导轨平面向里．当AB杆以初速度v0向运动时，求：（1）AB杆能够

4、移动的距离；（2）在移动过程中电阻R上放出的焦耳热为多少？[分析]当杆运动时会产生动生电动势，在电路中形成电流；这时杆又变成通电导体，所受的安培力与速度方向相反，所以杆将做减速运动．随着杆的速度变小，动生电动势也会变小，因而电流也会变小，所受的安培力也会变小，所以杆做加速度不断减小的减速运动，最后缓慢地停下来．解：（1）方法一：速度法．设杆运动时间t时的速度为v，则动生电动势为ε=BLv，电流为I=ε/R，所受的安培力的大小为F=ILB=εLB/R=(BL)2v/R，方向与速度方向相反．取速度的方向为正，根据牛顿第二定律F=m

5、a得速度的微分方程为，即：积分得方程的通解为．根据初始条件，当t=0时，v=v0，可得常量C1=lnv0．方程的特解为．由于v=dx/dt，可得位移的微分方程，方程的通解为，当t=0时，x=0，所以常量为．方程的特解为．当时间t趋于无穷大时，杆运动的距离为．方法二：冲量法．由F=-(BL)2v/R，得，右边积分得，即：杆所受的冲量等于杆的动量的变化量．左边积分后，可得．（2）杆在移动过程中产生的焦耳热元为整个运动过程中产生的焦耳热为，即：焦耳热是杆的动能转化而来的．ABθCDB图16.416.4如图所示，质量为m、长度为L的金

6、属棒AB从静止开始沿倾斜的绝缘框架滑下．磁感应强度B的方向竖直向上（忽略棒AB与框架之间的摩擦），求棒AB的动生电动势．若棒AB沿光滑的金属框架滑下，设金属棒与金属框组成的回路的电阻R为常量，棒AB的动生电动势又为多少？解：（1）棒的加速度为a=gsinθ，经过时间t，棒的速度为v=at=(gsinθ)t，而切割磁力线的速度为v⊥=vcosθ，所以棒的动生电动势为ε=BLv⊥=BLg(sinθcosθ)t=BLg(sin2θ)t/2．（2）设棒运动时间t时的速度为v，则动生电动势为ε=BLvcosθ，电流为I=ε/R，所受的安

7、培力的大小为F=ILB=εLB/R=(BL)2vcosθ/R，其方向水平向右．安培力沿着斜面向上的分量为F`=Fcosθ，其方向与速度的方向相反．取速度的方向为正，根据牛顿第二定律ΣF=ma得速度的微分方程为，即，方程可化为．积分得方程的通解为．根据初始条件，当t=0时，v=0，可得常量，方程的特解为，棒的速度为，动生电动势为．[讨论]当时间t趋于无穷大时，最终速度为，最终电动势为，最终电流为．另外，棒最终做匀速运动，重力做功的功率等于感生电流做功的功率，重力做功的功率为P=mgsinθv，感生电流做功的功率为，两式联立也可得

8、，由此可以求出最终电动势和电流．[注意]只有当物体做匀速运动时，重力所做的功才等于电流所做的功，否则，重力还有一部分功转换成物体的动能．raa图16.5Bωt16.5电磁涡流制动器是一个电导率为σ，厚度为t的圆盘，此盘绕通过其中心的垂直轴旋转，且有一覆盖小面积为a2的均匀磁场