知识要点-数列的概念

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1、第1讲数列的概念★知识梳理★1.数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每个数称为该数列的项.2.通项公式：如果数列的第项与序号之间可以用一个式子表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式，即.3.递推公式：如果已知数列的第一项（或前几项），且任何一项与它的前一项（或前几项）间的关系可以用一个式子来表示，即或，那么这个式子叫做数列的递推公式.如数列中，，其中是数列的递推公式.4.数列的前项和与通项的公式①；②.5.数列的表示方法：解析法、图像法、列举法、递推法.6.数列的分类：有穷数列

2、，无穷数列；递增数列，递减数列，摆动数列，常数数列；有界数列，无界数列.①递增数列:对于任何,均有.②递减数列:对于任何,均有.③摆动数列:例如:④常数数列:例如:6,6,6,6,…….⑤有界数列:存在正数使.⑥无界数列:对于任何正数,总有项使得.★重难点突破★1.重点：理解数列的概念和几种简单表示方法；掌握数列的通项公式的求法.2.难点：用函数的观点理解数列.3.重难点：正确理解数列的概念，掌握数列通项公式的一般求法.求数列的通项、判断单调性、求数列通项的最值等通常应用数列的有关概念和函数的性质

3、.问题1：已知是数列的前项和，，则此数列是()A.递增数列B.递减数列C.常数数列D.摆动数列分析：将已知条件转化为数列项之间的关系，根据数列单调性作出判定.解析：，两式相减，得，当时，，，选C.问题2：数列中，，则该数列前100项中的最大项与最小项分别是()A.B.C.D.分析：由已知条件判定数列单调性，注意的取值范围.解析：，·时，递减；时，递减.结合图象，选C.★热点考点题型探析★考点1数列的通项公式题型1已知数列的前几项，求通项公式【例1】求下列数列的一个通项公式：⑴⑵⑶⑷【解题思路】写出

4、数列的通项公式，应注意观察数列中和的联系与变化情况，应特别注意：自然数列、正奇数列、正偶数列，和相关数列，等差、等比数列，以及由它们组成的数列，从中找出规律性，并分别写出通项公式.【解析】⑴联想数列即数列，可得数列的通项公式；⑵将原数列改写为分母分别为分子分别为呈周期性变化，可以用，或，或表示.（或，或）⑶分子为正偶数列，分母为得⑷观察数列可知：本题也可以利用关系式求解.【名师指引】⑴联想和转换是由已知认识未知的两种有效的思维方法.⑵求数列的通项公式，应运用观察、分析、归纳、验证的方法.易错之处在

5、于每个数列由前几项找规律不准确，以及观察、分析、归纳、验证这四个环节做的不够多，应注意对每一数列认真找出规律和验证.题型2已知数列的前项和，求通项公式【例2】已知下列数列的前项和，分别求它们的通项公式.⑴；⑵.【解题思路】利用，这是求数列通项的一个重要公式.【解析】⑴当时，，当时，.当时，，.⑵当时，，当时，.当时，，.【名师指引】任何一个数列，它的前项和与通项都存在关系：若适合，则把它们统一起来，否则就用分段函数表示.题型3已知数列的递推式，求通项公式【例3】数列中，，求，并归纳出.【解题思路】

6、已知的递推公式求前几项，可逐步计算.【解析】，，，，，由，可以归纳出.【名师指引】由递推公式求通项，可以考虑“归纳—猜想—证明”的方法，也可以构造新数列.【新题导练】1.已知有穷数列：，其中后一项比前一项大2.⑴求此数列的通项公式；⑵是否为此数列的项？【解析】⑴设数列的第项为，则令，故该数列的通项公式⑵令，解得，，不是有穷数列的项.2.数列中，，求的值.【解析】由，得当时，；当时，两式相除，得.，.3.数列中，，求，并归纳出.【解析】，，，由，可以归纳出考点2与数列的通项公式有关的综合问题题型1已

7、知数列通项公式，求项数及最大（最小）项【例4】数列中，.⑴是数列中的第几项？⑵为何值时，有最小值？并求最小值.【解题思路】数列的通项与之间构成二次函数，可结合二次函数知识去探求.【解析】⑴由，解得，是数列中的第项.⑵，或时，.【名师指引】利用二次函数知识解决数列问题时，必须注意其定义域为正整数.题型2已知数列通项公式，判断数列单调性及有界性【例5】数列中，.⑴求数列的最小项；⑵判断数列是否有界，并说明理由.【解题思路】⑴转化为判断数列的单调性，即证，或；⑵从“数列的有界性”定义入手.【解析】⑴，数

8、列是递增数列，数列的最小项为.⑵，数列有界.【名师指引】数列是特殊的函数，判断函数的单调性、有界性的方法同样适用于数列.【新题导练】4.数列中，，求取最小值时的值.【解析】，时，取最小值.5.数列中，，求数列的最大项和最小项.【解析】，又，，数列是递增数列数列的最小项为，没有最大项.★抢分频道★基础巩固训练1.设数列，则是这个数列的（）A．第9项B．第10项C．第11项D．第12项【解析】C．，选C．2.(2008年华师附中)数列的前项和为，且，则数列的首项为（）A．或B．C．D．