知识要点-直线的倾斜角与斜率及直线方程

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1、第1讲直线的倾斜角与斜率及直线方程★知识梳理★1、直线的倾斜角与斜率:对于一条与x轴相交的直线，把x轴所在直线绕着它与直线的交点按照逆时针方向旋转到和直线重合时，所转过的最小正角叫倾斜角；倾斜角的取值范围是[00，1800)直线的倾斜角α与斜率k的关系:当α时，k与α的关系是；α时，直线斜率不存在；经过两点P1(x1,y1)P2(x2,y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式是；三点共线的充要条件是2.直线方程的五种形式:点斜式方程是；不能表示的直线为垂直于轴的直线斜截式方程为；不能表示的直线为垂直于轴的直线两点式方程为；不能表示的直

2、线为垂直于坐标轴的直线截距式方程为；不能表示的直线为垂直于坐标轴的直线和过原点的直线.一般式方程为.3.几种特殊直线的方程:①过点垂直于x轴的直线方程为x=a;过垂直于y轴的直线方程为y=b②已知直线的纵截距为,可设其方程为;③已知直线的横截距为,可设其方程为;④过原点的直线且斜率是k的直线方程为y=kx★重难点突破★重点:理解倾斜角与斜率的对应关系,熟练利用五种形式求直线方程难点:在求直线方程时,条件的转化和设而不求的运用重难点:结合图形,把已知条件转化为确定直线位置的要素,从而顺利求出直线方程（1）倾斜角与斜率的对应关系涉及这

3、类问题的题型一般有：（1）已知倾斜角(或范围)求斜率(范围)（2）已知斜率(或范围)求倾斜角(或范围)，如：问题1：直线的倾斜角是A.B.C.D.点拨:转化为:已知,求,答案:C问题2:求直线的倾斜角的取值范围点拨:要从和正切函数的单调性来理解倾斜角与斜率的对应关系，①当时,,随的增大而增大;②当时,,随的增大而增大.本题可先求出斜率的取值范围,再利用倾斜角与斜率的对应关系,求出倾斜角的取值范围.，故：当时，直线的倾斜角α满足：当时，直线的倾斜角α满足所以，直线的倾斜角的范围：和(2）利用直线方程的几何特征确定直线的位置xyAOx

4、yBOyxDOyOxC问题3：已知函数，当，方程表示的直线是点拨:这是直线方程中的参数的几何意义问题，可先确定直线的斜率和截距的范围,再确定直线的位置,由已知可得,从而斜率,截距,故选C（3）选择恰当的形式求直线方程问题4:过点的直线分别交轴、轴的负半轴于两点，当最小时，求直线的方程。点拨:设直线方程要从条件和结论两方面考虑，为更好表示,本题用点斜式设出方程最简便。解：设直线的方程为,,,,,当且仅当，即k=±1时等号成立，但k<0,故直线的方程为：x+y+3=0；（4）设直线方程时要考虑是否会有丢解的情况，如：问题5:求过点，且

5、在轴上的截距是在轴上的截距的2倍的直线方程。点拨:设直线方程都要考虑是否丢解的问题，本题用截距式设直线方程容易漏掉过原点的直线，应警惕。解：当直线过原点时,方程为;当直线不经过原点时,设方程为,把代入得,综上,所求方程为或★热点考点题型探析★考点1直线的倾斜角和斜率题型1：已知倾斜角(或范围)求斜率(或范围)或已知斜率(或范围)求倾斜角(或范围)[例1]已知经过的直线的倾斜角为，且，试求实数的取值范围。【解题思路】由倾斜角的范围得出斜率的范围,从而求出参数的取值范围.【解析】，或，解得：的取值范围是【名师指引】根据正切函数在上的单

6、调性,要分;三种情况讨论,特别注意时容易遗漏.题型2：动直线与线段(曲线段、区域)相交yxOMQP[例2]已知直线l:y=kx-2和两点P（1，2）、Q（-4，1）,若l与线段PQ相交，求k的取值范围；【解题思路】用运动的观点,结合图形得出倾斜角的范围,从而得出斜率取值范围[解析]由直线方程y=kx-2可知直线过定点（0，-2），∵∴要使直线l与线段PQ有交点，则k的取值范围是k≥4和k≤-3/4【名师指引】（1）用“运动的观点”是解决这类问题的根本方法，注意“两条直线相交”和“直线与线段相交”的区别（2）在观察动直线在运动过程中

7、,要特别注意倾斜角是否含有角,若含有,则斜率的范围是,若不含有,则斜率的范围是（分别为线段端点与直线所过定点连线的斜率）【新题导练】1.下列多组点中，三点共线的是()A.(1，4)，(-1，2)，(3，5)B.(-2,-5),(7,6),(-5,3)C.(1,0),(0,-),(7，2)D.(0，0)，(2，4)，(-1，3)【解析】C.由KAB=KBC可得2.（广东省四校联合体2007-2008学年度联合考试）若函数f(x)=log2（x+1）且a＞b＞c＞0，则、、的大小关系是A、＞＞B、＞＞C、＞＞D、＞＞【解析】B把、、分

8、别看作函数f(x)=log2（x+1）图像上的点与原点连线的斜率,对照草图可得答案3.(华南师大附中2009届高三综合测试（一）)已知直线（t为参数），则下列说法错误的是（　　）A．直线的倾斜角为B．直线必经过点C．直线不经过第二象限D．当t=1时