特殊平行四边形：截长补短法的应用

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1、截长补短法截长补短法是几何证明题中十分重要的方法。通常来证明几条线段的数量关系。截长补短法有多种方法。截长法：（1）过某一点作长边的垂线（2）在长边上截取一条与某一短边相同的线段，再证剩下的线段与另一短边相等。……补短法（1）延长短边。（2）通过旋转等方式使两短边拼合到一起。……例1：在正方形ABCD中，DE=DF，DGCE，交CA于G，GHAF，交AD于P，交CE延长线于H，请问三条粗线DG，GH，CH的数量关系。方法一（好想不好证）方法二（好证不好想）（1）正方形ABCD中，点E在CD上，点F在BC上，EAF=45。求证：EF=DE+BF。（1）变形a正方形A

2、BCD中，点E在CD延长线上，点F在BC延长线上，EAF=45。请问现在EF、DE、BF又有什么数量关系？（1）变形b正方形ABCD中，点E在DC延长线上，点F在CB延长线上，EAF=45。请问现在EF、DE、BF又有什么数量关系？（1）变形c正三角形ABC中，E在AB上，F在AC上EDF=45。DB=DC，BDC=120。请问现在EF、BE、CF又有什么数量关系？（1）变形d正方形ABCD中，点E在CD上，点F在BC上，EAD=15，FAB=30,AD=求AEF的面积.(1)变形e如图，在正方形ABCD中，M是AB的中点，DM⊥MN，BN平分∠CBE。求证：DM

3、=MN.(1)变形f如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，AE⊥EF，CF平分∠DCG,经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB的中点M，连接ME，则AM=EC，易证，所以．在此基础上，同学们作了进一步的研究：（1）小颖提出：如图2，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（除B，C外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE=EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；（2）小华提出：如图3，点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE=EF”仍然成立．你认为小华的观点正确吗

4、？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由．ADFCGEB图1ADFCGEB图2ADFCGEB图3（2）正方形ABCD中，对角线AC与BD交于O，点E在BD上，AE平分DAC。求证：AC/2=AD-EO(2)P为正方形ABCD边DC上一点，且AP＝BC+CP，M是CD中点，求证：∠BAP＝2∠DAM。（2）加强版正方形ABCD中，M在CD上，N在DA延长线上，CM=AN，点E在BD上，NE平分DNM。请问MN、AD、EF有什么数量关系？（3）已知：如图8，梯形ABCD中，AD//BC，AD+BC=DC，M为AB的中点。求证：DM⊥CM。（3）变形a如图2-1

5、，AD∥BC，点E在线段AB上，∠ADE=∠CDE，∠DCE=∠ECB,求证：CD=AD+BC.(3)变形b如图：已知AC∥BD，EA、EB分别平分∠CAB、∠DAB，CD过点E，求证：AB＝AC+BD。(3)变形c如图，已知在平行四边形ABCD中,AE平分∠BAD,交DC于点E,DF⊥BC于点F,交AE于点G,且ＤＦ＝ＡＤ，（１）试说明ＤＥ＝ＢＣ（２）试问ＡＢ与ＤＧ＋ＦＣ之间有何数量关系？(4)在四边形ABCD中，AB＝AD，。求证：AC＝BC+CD。11.如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠DCB＝45°，CD＝2，BD⊥CD．过点C作CE⊥AB于E，交对角线

6、BD于F．点G为BC中点，连结EG、AF．(1)求EG的长；(2)求证：CF＝AB＋AF．