“截长补短法”的运用

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1、“截长补短法”问题的运用金山初级中学庄士忠201508而“截长补短法”是解决儿何证明倍半问题的-•种特殊方法，在无法进行直接证明的情形下，利用此种方法常可使思路'擀然开朗.(一)中线倍长法：例1、求证：三角形一边上的屮线小于其他两边和的一半。已知：如图，AABC中，AD是BC边上的中线，求证：AD<^-(AB+AC)分析：要证明AD<1(AB+AC),就是证明AB+AC>2AD,也就是证明対条线段之和大于第三条2线段，而我们只能用“三角形两边之和大于第三边”，但题中的三条线段共点，没有构成一个三角形，不能用三角形三边关系定理，因此应该进行转化。待证结论AB

2、+AO2AD中，出现了2AD,即中线AD应该加倍。证明：延长AD至E,使DE二AD,连CE,则AE=2AD。在AADB和AEDC屮，AD=DEADB=EDCbd=dc:.△ADB9AEDC(SAS)・・・AB=CEX在AACE中，AC+CE>AE・・・AC+AB>2AD,即AD<-(AB+AC)2小结：(1)涉及三角形中线问题时，常采用延长中线一倍的办法，即中线倍长法。它可以将分居中线两旁的两条边AB、AC和两个角ZBAD和ZCAD集中于同一个三角形中，以利于问题的获解。(二)、角平分线截长法：例题2,如图2-1,在四边形加“中，BQAB,/"DC,劭平分

3、ZABC.求证：ZBAIAZBCD-1S00.分析：因为平角等于180°,因而应考虑把两个不在一起的通过全等转化成为平角，图中缺少全等的三角形，因而解题的关键在于构造直角三角形，可通过“截长补短法”来实现.E图2-2F证明：过点〃作DE垂直必的延长线于点作DFLBC于点尺如图2-2・・•肋平分AABC,:・DBDF、在Rt'ADEqRtHCDF中，DE=DFAD=CD:・Rt'ADE^Rt'CDFUllA:•上DAW/DCF.乂Z胡ZHZ勿庐180°,:•上BA圧上DC&80°,即ZBA圧上BCin8T例题3如图3-1,AD//BC点〃在线段上，乙AD&

4、乙CDE,乙DCI匸乙ECB求证：CD-AD^BC.分析：结论是CBA陕BC,可考虑用“截长补短法”中的“截长”，即在C〃上截取CF=只要再证DI^DABP可，这就转化为证明两线段和等的问题，从而达到简化问题的目的.证明：在67?上截取沪况；如图3-2FC二；笃加3汎MCE⑸s）,・・yCE=CE又AD//BC.•••ZADC+ZBCHW,:•乙DCE+乙CD09O°,・・・Z2+Z3二90°,Z1+Z4二90°,.Z3=Z4.在△磁与△加莎中，[ZFDE=ZADE八厂八厂:.'FDE空'ADEJASA),:.DF-DA,‘DE=DEZ3=Z4•:CA

5、DF+CF,:.CI^Al^BC.（三）、角平分线补短法：例题4己知，如图4-l,Zl=Z2,P为加上一点，冃PD丄BC于点D,A除BU2BD.求证：ZBAP+ZBCP=80°・分析：与例2相类似，证两个角的和是180。，可把它们移到一起，让它们是邻补角，即证明ZBCP=ZEAP,因而此题适用“补短”进行全等三角形的构造.证明：过点"作PE垂直BA的延长线于点仅如图4・2图4・1VZ1=Z2,HPDA.BC,:.Pl^PD,在Rt'BPE与Rt/BPD中,pe=pd::.BE-BD.BP=BP•:AB+BO2BD、:M険B陕DC二BIABE,:.AB+

6、DOBEgDC-BE-/UME.在Rt'APE与Rt'CPD中，PE=PD

7、=/2:./ABD^/AED(A45),:.AB=AE=ZEAD=AD又ABAC+CgA&DC,:・AB=AGDC.方法二(截长法)在初上截取AI^AC如图5-3在△加卩与中，AF=AC/f一小:./AFD^/ACD^SAS),:.DF^DQZAFD=ZACD.E图4・2图5-1图5-3图5-2AD=AD又•:ZACB=2ZB,:.乙FDB=ZB,:・FXFB.•:AB=A片FB=AGFD,:.AB-A&CD.上述儿种方法在实际应川中，时常是互为补充，但应结合具体题FI恰当选择合适思路进行分析。让掌握沖生掌握好“截长补短法”对于更好的理解数学中的化

8、归思想有较人的帮助。