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1、“截长补短法”问题的运用金山初级中学庄士忠201508而“截长补短法”是解决儿何证明倍半问题的-•种特殊方法,在无法进行直接证明的情形下,利用此种方法常可使思路'擀然开朗.(一)中线倍长法:例1、求证:三角形一边上的屮线小于其他两边和的一半。已知:如图,AABC中,AD是BC边上的中线,求证:AD<^-(AB+AC)分析:要证明AD<1(AB+AC),就是证明AB+AC>2AD,也就是证明対条线段之和大于第三条2线段,而我们只能用“三角形两边之和大于第三边”,但题中的三条线段共点,没有构成一个三角形,不能用三角形三边关系定理,因此应该进行转化。待证结论AB
2、+AO2AD中,出现了2AD,即中线AD应该加倍。证明:延长AD至E,使DE二AD,连CE,则AE=2AD。在AADB和AEDC屮,AD=DEADB=EDCbd=dc:.△ADB9AEDC(SAS)・・・AB=CEX在AACE中,AC+CE>AE・・・AC+AB>2AD,即AD<-(AB+AC)2小结:(1)涉及三角形中线问题时,常采用延长中线一倍的办法,即中线倍长法。它可以将分居中线两旁的两条边AB、AC和两个角ZBAD和ZCAD集中于同一个三角形中,以利于问题的获解。(二)、角平分线截长法:例题2,如图2-1,在四边形加“中,BQAB,/"DC,劭平分
3、ZABC.求证:ZBAIAZBCD-1S00.分析:因为平角等于180°,因而应考虑把两个不在一起的通过全等转化成为平角,图中缺少全等的三角形,因而解题的关键在于构造直角三角形,可通过“截长补短法”来实现.E图2-2F证明:过点〃作DE垂直必的延长线于点作DFLBC于点尺如图2-2・・•肋平分AABC,:・DBDF、在Rt'ADEqRtHCDF中,DE=DFAD=CD:・Rt'ADE^Rt'CDFUllA:•上DAW/DCF.乂Z胡ZHZ勿庐180°,:•上BA圧上DC&80°,即ZBA圧上BCin8T例题3如图3-1,AD//BC点〃在线段上,乙AD&
4、乙CDE,乙DCI匸乙ECB求证:CD-AD^BC.分析:结论是CBA陕BC,可考虑用“截长补短法”中的“截长”,即在C〃上截取CF=只要再证DI^DABP可,这就转化为证明两线段和等的问题,从而达到简化问题的目的.证明:在67?上截取沪况;如图3-2FC二;笃加3汎MCE⑸s),・・yCE=CE又AD//BC.•••ZADC+ZBCHW,:•乙DCE+乙CD09O°,・・・Z2+Z3二90°,Z1+Z4二90°,.Z3=Z4.在△磁与△加莎中,[ZFDE=ZADE八厂八厂:.'FDE空'ADEJASA),:.DF-DA,‘DE=DEZ3=Z4•:CA
5、DF+CF,:.CI^Al^BC.(三)、角平分线补短法:例题4己知,如图4-l,Zl=Z2,P为加上一点,冃PD丄BC于点D,A除BU2BD.求证:ZBAP+ZBCP=80°・分析:与例2相类似,证两个角的和是180。,可把它们移到一起,让它们是邻补角,即证明ZBCP=ZEAP,因而此题适用“补短”进行全等三角形的构造.证明:过点"作PE垂直BA的延长线于点仅如图4・2图4・1VZ1=Z2,HPDA.BC,:.Pl^PD,在Rt'BPE与Rt/BPD中,pe=pd::.BE-BD.BP=BP•:AB+BO2BD、:M険B陕DC二BIABE,:.AB+
6、DOBEgDC-BE-/UME.在Rt'APE与Rt'CPD中,PE=PD7、=/2:./ABD^/AED(A45),:.AB=AE=ZEAD=AD又ABAC+CgA&DC,:・AB=AGDC.方法二(截长法)在初上截取AI^AC如图5-3在△加卩与中,AF=AC/f一小:./AFD^/ACD^SAS),:.DF^DQZAFD=ZACD.E图4・2图5-1图5-3图5-2AD=AD又•:ZACB=2ZB,:.乙FDB=ZB,:・FXFB.•:AB=A片FB=AGFD,:.AB-A&CD.上述儿种方法在实际应川中,时常是互为补充,但应结合具体题FI恰当选择合适思路进行分析。让掌握沖生掌握好“截长补短法”对于更好的理解数学中的化
8、归思想有较人的帮助。