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《上半连续和下半连续教案.docx》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、函数的上、下半连续性一、上、下半连续性的定义设函数fx在集合E上有定义，X0E为E的一个聚点。fx在X0处连续，用语言描述，即：0,0,当xE,x%时，有fx0fxfx0A若将此条件减弱，在不等式A中，只使用其中的一个不等式，那么就得到半连续。定义设fx在x0及其附近有定义，所谓fx在xo处上半连续，是指：0,0,当xE,xx0时，恒有fxfx0。fx在x0处下半连续，是指：0,0,当xE,xx0时，恒有fxf%。推论fx在x0及其附近有定义，则fx在x0处连续的充要条件是，fx在x0处既上半连续又下半连续。例1Dirichlet函数Dx1,xQ0,xRQ①在有
2、理点处上半连续，但不下半连续。②在无理点的情况恰恰相反。例2考虑函数fxxDx,xRo①当x0时，跟Dx的结论一样,②当x0时，跟Dx的结论相反,③当x0时，既上半连续又下半连续，因而在x0处连续。例3Riemann函数1,当x卫为既约整数，q0Rxqq0,当x无理数①在无理点处既上半连续又下半连续。②在有理点处上半连续，但不下半连续。二、上、下半连续性的等价描述定理1设fx在集合E上有定义，X0为E的一个聚点且XoE。则如下断言等价：1、fx在xo处上半连续（即：0,0,当xE,xxo时，恒有fxfxo）2、limfxfx0xxo3、xn：xnE,xn',必有
3、［Mf乂口fx°证明：12明显，因o,o,当xE,x%时，有fxfxo对上式取极限，并注意o的任意性，即得2。23由limfxmaxlimfxnxnE,xnxoxnxo,XxnlimfxminlimfxnxnE,xnxoxnxox/n直接可得1（用反证法）设fx在X0处不上半连续，则E,0XnXoc1c00,n0,Xnn使得fXnfX00。这与已知条件3矛盾当且仅当fX集合E中处处上（下）半连续时称fX在E中上（下）半连续。定理2设E为闭集，fX在E上有定义，则fX在E中上半连续的充要条件是：c,,集合FcxE:fxc为闭集。证明必要性为了证明Fc为闭集，即要证
4、明XnFc,Xn%,必有X0Fc,此时XnE,而E为闭集，所以X0E。要证X0Fc,只要证fX0c。事实上，由XnFc知fXncn1,2,,从而有limfXnc。因fx在上半连续，根据定理1有fx0limfxlimfxncxX0n充分性（反证法）若fx不在E中上半连续，则至少存在一点X。E,fx在X0不上半连续，即00,1,XnnE,XnX0fX0取数c,使fX00cfX0,于是根据Fc的定义xnFc,x0Fc但XnX0（当n）,F为闭集，应有X0Fc矛盾，证毕注（1）上半连续与下半连续是对偶的概念。一方有什么结论,另一方也有相应的结论。定理2的对偶结论留给学生
5、做为习题。语言,（2）定理2给出了半连续的又一等价形式，其中未用只用了闭集的概念。这为半连续推广到一般拓扑空间，作了准备三、上、下半连续的性质1、运算性质定理3（1）若在a,b,函数fx,gx上、下半连续，则它们的和fxgx亦在a,b中上、下半连续。（2）若在a,b上fx上下半连续，则-fx在a,b中为下、上半连续。（3）若在a,b上，函数fx及gx0,且上半连续（或fx及gx0,且下半连续）则它们的积fx•gx在a,b上为上半连续。若fx0上、下半连续，gx0为下（上）半连续，则fx•gx下（上）半连续。（4）若在a,b上，fx0上（下）半连续，则在a,b上为
6、fx下（上）半连续。这里只对（1）中上半连续的情况进行证明,证法1（利用半连续的定义）因fx,gx上半连续，x0a,b,0,0,当x刈,xa,b时有所以fxfx°-,gxgx°-fxgxfx°gx0fxgx在a,b上上半连续。证法2（利用上半连续的等价描述）因fx,gx在a,b中上半连续，xa,b有f%,limgxg%(定理xx01)limfxxX0但limfxxx0故fxgx在2、保号性上半连续函数有局部保负性（即：若fx在x0处上半连续，fxo0,则0,使得xx°,x时有fx0）。同样，下半连续函数有局部保正性，这些由定义直接可得。3、无介值性半连续函数，介
7、值定理不成立。例如：gxlimfxlimgxxx0xx0a,b中上半连续。x°gx°1,当0x-fx210,当-x12在0,1上fx是上半连续的，但a0,1f1,f0，无x0,1使得fx=a。4、关于fx的界定理4有界闭区间上的上半连续函数，必有上界，且达到上确界，具体来说，若fx在a,b上上半连续，则（1）fx在a,b上有上界（M0使fxM,xa,b）。⑵fx在a,b上达到上确界（即x0a,b使得fx°supfx）xa,b证明先证明（1）（反证法）nn1,2由致密性原若fx无界，则xna,b,使得fxn理，在Xn中存在收敛的子序列Xnk,使*为X0(当k)。因
8、a,b为闭的，故X0a,
