连续信源和连续信道

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1、2.3连续信源连续信源：输出消息在时间和取值上都连续的信源。如语音，电视信源。对应的数学工具为随机过程。从统计特性上讲，连续随机过程大致可分为平稳（统计特性-各维概率密度函数不随时间平移而变化的随机过程）和非平稳随机过程两大类。一般认为，通信系统中的信号都是平稳的随机过程，或分段平稳的随机过程。最常见的平稳随机过程为遍历过程。2.3.1连续信源熵连续信源基本的数学模型为其中R是全实数集，是连续变量X的取值范围，p(x)为X的概率密度。假设x∈［a，b］，令Δ=(b-a)/n，xi∈［a+(i-1

2、)Δ，a+iΔ］，p(x)为连续变量X的概率密度函数，则利用中值定理X落在第i个小区间的概率是根据离散信源熵的定义，则当n→∞时，即Δ→0时，得：定义连续信源熵:连续信源的熵具有相对性，有时称为相对熵,在取两熵之间的差时才具有信息的所有特性.上式定义的连续信源的熵并不是实际信源输出的绝对熵，连续信源的绝对熵应该再加上一项无限大的常数项。因为连续信源的可能取值有无限多个，若其取值是等概率分布的，那么，信源不确定性为无限大。当确知输出为某值后，所获得的信息量也将为无限大。可见，Hc(X)已不能代表

3、信源的平均不确定性大小，也不能代表连续信源输出的信息量。例2.3.1有一信源概率密度如图所示，求连续熵解:由图(a)得由图(b)得同理，可定义两个连续变量X，Y的联合熵和条件熵：2.3.2几种特殊连续信源的熵1.均匀分布的连续信源的熵，其大小仅与区域的边界有关。一维均匀分布：相对熵无非负性，可为负值若：N维均匀分布：N维矢量（X1X2…XN）中各分量彼此统计独立，且分别在[a1，b1][a2，b2]…[aN，bN]的区域内均匀分布，即连续随机矢量中各分量相互统计独立时，其矢量熵就等于各单个随机变量

4、的熵之和，与离散信源情况类似。2.高斯分布的连续信源的熵：与数学期望无关，仅与方差有关设一维随机变量X的取值范围是整个实数轴R，概率密度函数呈正态分布与方差有关，与均值无关当均值m=0，X的方差就是随机变量的平均功率相对熵只与平均功率有关3.指数分布的连续信源的熵：只取决于均值若一维随机变量X的取值空间是[0，∞］，其概率密度函数为其中：指数分布的相对熵只取决于信源的均值m2.3.3连续信源熵的性质及最大连续熵定理1.连续熵可为负值2.可加性推广到N个变量：3.平均互信息的非负性连续信道的平均互信

5、息量和离散信道下平均互信息量的关系式完全类似，且保留了离散信道平均互信息量的所有含义和性质。可见，将差熵定义为连续信源的熵是有重要实际意义的。4.最大连续熵定理在不同的限制条件下，信源的最大熵也不同。（1）限峰值功率的最大熵定理若信源的N维随机变量的取值在一定的范围之内，则在有限的定义域内，均匀分布的连续信源具有最大熵。N维矢量（X1X2…XN）中各分量彼此统计独立，且分别在[a1，b1][a2，b2]…[aN，bN]的区域内均匀分布，即这就是说，任何概率分布密度时的熵必小于均匀分布时的熵，即当均

6、匀分布时差值达到最大值当ai=－bi时，（2）限平均功率的最大熵定理若信源输出信号的平均功率P和均值m被限定，则其输出信号幅度的概率密度函数为高斯（正态）分布时，信源具有最大熵值。单变量连续信源X呈正态分布的概率密度函数为且：当连续信源输出信号的均值为零、平均功率受限时，只有信源输出信号的幅度呈高斯分布时，才会有最大熵值。当信源的概率密度符合正态分布时，其相对熵仅与随机变量的方差有关，而方差在物理含义上往往表示信号的交流功率,即如果噪声是正态分布，则噪声熵最大，因此高斯白噪声获得最大噪声熵。在限制

7、信号平均功率的条件下，正态分布的信源可输出最大相对熵其值随平均功率的增加而增加。（3）均值受限条件下的最大连续熵定理若连续信源X输出非负信号的均值受限，则其输出信号幅度呈指数分布时，信源具有最大熵值。将连续信源X为指数分布时的概率密度函数记为取值为非负数，均值受限的连续信源，当它呈指数分布时达到最大熵值，且其最大熵值仅决定于被限定的均值总结：连续信源与离散信源不同，它不存在绝对的最大熵。其最大熵与信源的限制条件有关。连续信源在不同限制条件下最大熵是不同的，在无限制条件时，最大熵不存在。3.5连续信

8、道连续信道：输入和输出都是单个连续型随机变量的信道。可用模型{X,p(y

9、x),Y}来描述单符号连续信道。X是输入连续型随机变量，X取值区间为［a,b］或实数域R；Y是信道输出连续型随机变量，取值区间为［a′,b′］或实数域R；信道的传递概率密度函数为p(y

10、x),并满足：p(y/x)X∈[a,b]Y∈［a′,b′］连续信道的数学模型定义连续信道的信道容量C为信源X等于某一概率密度函数p0(x)时，信道平均互信息量的最大值。加性连续信道的容量加性连续信道：噪声为连续随机变量N，且与