2020_2021学年高中数学第一章解三角形1.1.1正弦定理同步课件新人教A版必修520210325265.ppt

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1、第一章解三角形1.1　正弦定理和余弦定理1.1.1　正弦定理主题　正弦定理1.在Rt△ABC中,存在怎样的关系?提示:在Rt△ABC中,因为sinA=,故c=,同理c=,因此又因为C=90°,故2.在锐角△ABC中,以上关系式是否仍然成立?提示:如图,在锐角△ABC中,作CD⊥AB于点D,有=sinA,=sinB.所以CD=bsinA=asinB.所以同理,在△ABC中,所以成立.结论:1.正弦定理在一个三角形中,各边和它所对角的_____的比相等,即_________________.正弦2.解三角形(1)三角形的元素:三角形的三个内角A,

2、B,C和它们的对边______.(2)解三角形:已知三角形的几个元素求_________的过程.a,b,c其他元素【对点训练】1.在△ABC中,a=b,A=120°,则角B的大小为()A.30°B.45°C.60°D.90°【解析】选A.由正弦定理得sinB=,因为A=120°,得B=30°.2.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若a=1,A=30°,B=45°,则b的值为()A.B.C.D.2【解析】选C.由正弦定理可得:.解得:b=.类型一　已知两角和一边解三角形【典例1】(1)(2019·潮州高二检测)在△ABC中,

3、B=135°,C=15°,a=3,则边b=()A.5B.4C.3D.2(2)已知在△ABC中,D为BC中点,cos∠BAD=,cos∠CAD=,①求∠BAC的值;②求的值.【解题指南】(1)由已知利用三角形内角和定理可求角A,再根据正弦定理可求b的值即可.(2)①先求出sin∠BAD,sin∠CAD,根据cos∠BAC=cos(∠BAD+∠CAD)求解.②在△ABC与△ABD中分别利用正弦定理及D为BC中点求解.【解析】(1)选C.因为B=135°,C=15°,所以A=180°-B-C=30°,所以由正弦定理,可得:b=.(2)①因为cos∠

4、BAD=,cos∠CAD=,所以在△ABC中,∠BAD,∠CAD为锐角,所以sin∠BAD=,sin∠CAD=,cos∠BAC=cos(∠BAD+∠CAD)因为0<∠BAC<π,所以∠BAC=②在△ABC中,在△ABD中,又因为BC=2BD,所以【方法总结】已知两角和一边解三角形的步骤【跟踪训练】1.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若A=,B=,a=3,则b=()A.2B.2C.3D.3【解析】选A.在△ABC中,由正弦定理得,所以b=2.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知b=1,B=,cosA=,则a

5、=()【解析】选A.由cosA=,得sinA=.由正弦定理【补偿训练】若在△ABC中,AC=,A=45°,C=75°,求BC,AB及B.【解析】在△ABC中,由A+B+C=180°得B=180°-A-C=60°,在△ABC中,由正弦定理得故BC=类型二　已知两边及其中一边的对角解三角形【典例2】(1)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知A=,a=1,b=,则B=__________.(2)已知△ABC中,a=,b=,A=45°,则三角形的解的个数为________.【解题指南】(1)由正弦定理即可求出角B.(2)利用正弦定

6、理求角B的值,从而确定解的个数.【解析】(1)依题意,由正弦定理知得出sinB=.由于0a,故B=60°或B=120°,所以三角形的解的个数为2.答案:2【延伸探究】1.若本例(1)条件不变,试求边长c.【解析】由本例(1)解析知B=或,当B=时,C=π-所以c=当B=时,C=π-故c=a=1.2.把本例(1)中的“b=”改为“b=”,其他条件不变,试求B.【解析】由正弦定理得即sinB=由于0

7、的正弦值.(2)如果已知的角为大边所对的角时,由三角形中大边对大角,大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角,由正弦值可求锐角唯一.(3)如果已知的角为小边所对的角时,则不能判断另一边所对的角为锐角,这时由正弦值可求出两个角,要分类讨论.【跟踪训练】1.(2019·佛山高一检测)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若,则cosB=()A.-B.C.D.【解析】选B.因为,所以3sinBsinA=4sinAcosB,因为sinA>0,所以3sinB=4cosB,所以tanB=,由同角三角函数关系得cosB=.2.已知在△ABC中

8、,b=2,c=2,C=30°,那么解此三角形可得()A.一解B.两解C.无解D.解的个数不确定【解析】选B.因为,所以sinB=因为b>c,所以B=60°或120°