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1、棱锥同步练习、选择题1.下列命题中正确的是（）A.底面为正三角形的三棱锥是正三棱锥B.正三棱锥相对棱中点的连线是相对棱的公垂线C.正三棱锥的侧面是三个全等的等边三角形D.正三棱锥的相对棱互相垂直2.一个棱锥的各条棱都相等，那么这个棱锥必不是（）A.三棱锥B.四棱锥C.五棱锥D.六棱锥3.若棱锥的底面积等于64,则它的中截面面积等于（）A.32B.16C.8D.44.已知正三棱锥的一个侧面积与底面积的比是2,则此正三棱锥的高与斜高之比是3（）A.-3B.-2C.1D.15.已知三棱锥S—ABC中，面SABt面SBCffi是边
2、长为、用的正三角形，另外两个面都是等腰直角三角形，则此三棱锥的体积是（）A..3B..6C.3D.636.若一个正三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，则底面上任一点P到三个侧面距离之和等于这个正三棱锥的（）A.高B.斜高的长C.侧棱的长D.底面各顶点与点P的距离之和二、填空题7.若正三棱锥底面的边长为a,且两个侧面所成的角均为90°,则底面中心到侧面的距离为8.正四棱锥S-ABCD勺侧棱长为后，底面边长为V3,E是SA的中点，则异面直线BE与SC所成的角等于.9.将一个棱长为1的正方体木块锯成最大的一个正四面体木块，则正四面体木
3、块的体积为.10.一个正n棱锥和一个正n棱柱的底面边长、高和侧面积都分别相等，则这个棱锥的侧面与底面所成二面角的度数为.三、解答题11.如图9—8—35,已知四棱锥S-ABCDJ底面ABC里边长为a的正方形，SAL底面ABCD且SA=a,E、F分别是侧棱SC和底边CD的中点.（1）求证：平面BDEL平面ABCD（2）设平面SAB?平面SC®,证明：l//AB//CD（3）求二面角E-AF-B的大小（用反正弦表示）.S戾Jb图9—8—35c1.如图9—8—36,平面a内有半径为2的圆O,过直径AB的端点A作PA!a且PA=2
4、,C是圆O上一点，且/CA360°,求三棱锥P-OBC勺侧面积.p“图8-8-362.已知正三棱锥S-ABC的底面边长为a,侧面与底面所成的角为60°,求它的高、侧棱长及两相邻侧面所成二面角的余弦值.3.如图9-8-37所示，一个四棱锥P-ABCD勺底面是面积为1的矩形，有两个侧面PAD与PA曲B垂直于底面，另两个侧面分别和底面成300和60°的二面角.pD。DCfA图9-8-37(1)求这个棱锥的侧面积；(2)求点A到平面PBD的距离.、1.D2.D3.B、7.9a8.6004.A5.A6.C9.-10.3003、11.
5、(1)连结AC交BD于O,证明oa平面ABCW可.(2)「CD//AB,/.CD//平面SAB・•.CD//l,故l//AB//CD(3)过。作OGLAF于G连结EG可证/EGO%二面角的平面角，易得/EGOarcsin普.12.SaPO=lpA-OB=2,可证PC!BQ且可得BO2石，PC=PO=2石，2•,Sapb(=-PC.BC=2d6Sapo=7.213.解：如图9-8-38所示，在正三棱锥S-ABC中，设O是底面中心，D是AB中点,再作BE，SC于E,连结AESA心C图9由8—38vS—ABC®正三棱锥，「.SO
6、L底面ABCCD!AB•SDLAB」./SDOM则面SA*底面ABCff成二面角的平面角，/SDO60。.在正△ABC中,AB=a,D<=-ya,C(=ya.3在RtzXSDO^,SO=DO-tanSD(=—atan606在RtASOO^,SC=..SO(33)2=^a-OC2•・BC=AC/ACE：/BCECE是公共边，..△BC陷AACE又.•/BEC：90°,•./AEC=90°,IPAE±EC•••/AEB是二面角A-SC-B的平面角../SB®/BCEZSDB=ZBEC900,•.△SDHzBEC.BESDDO
7、_3a••——=——.而SD==——a,BCSBcosSDO3」.BEzbC型二字aSB7••・在△ABE中，cosAEB=AE2+BE2AB2:1.故该棱锥的高为旦,侧棱长为421a,相邻侧2AEBE826面所成二面角的余弦值为1.814.解：如图9-8-39所示，在四棱锥P—ABCM,AB图9-8-39・•・平面PADL平面ABCD平面PABL平面ABCD・•.PAL平面ABCD又.•・底面ABCD1矩形,BBC±PB,DCLPD・•・/PBA/PDA分别是另两个侧面和底面所成二面角的平面角.不妨设/PB/=30°,/
8、PDA：60°.(1)令PA=a,贝ijAB=PA-cot30°=73a,AD=PA-cot60°=导a.PB=PAAB=a3a=2a,S侧=1(ABAD-PA+1BCPB^lDC-PD=1(V3a+ga)•a+1•虫a•2a2222323+1•百a•2^3-a=(V3+1)•a2.233.-又S矩形a
