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1、精选文档数学奥赛辅导第五讲高斯函数可编辑精选文档可编辑精选文档知识、方法、技能.它是数学竞赛热这一讲介绍重要的数论函数y[x],称为高斯函数，又称取整函数点之一.定义一：对任意实数x,[x]是不超过x的最大整数，称[x]为x的整数部分.与它相伴随的是小数部分函数y{x},{x}x[x].由[x]、{x}的定义不难得到如下性质:(1)y[x]的定义域为R,值域为Z；y{x}的定义域为R,值域为[0,1)可编辑精选文档可编辑精选文档(2)对任意实数x,都有x[x]{x},且0{x}1.(3)对任意实数x,都有[x]x[x]1,x1[x]x.
2、(4)y[x]是不减函数，即若xix2则[x[][x2],其图像如图I—4—5—1;y{x}是以1为周期的周期函数，如图图I—4—5—1I一4一5—2.(5)[xn]n[x];{xn}{x}.其中xR,n(6)[xy][x][y];{x{x}n{y}{xy};[i1xi]n[xi],xiR；特别地,i1可编辑精选文档rnaa.%]可编辑精选文档[xi],xii1n⑺[xy][x][y],其中x,yR；一般有[xji1[nx]n[x],xR,nN.(8)[x][区]，其中xR,nN.nn【证明】(1)—(7)略.(8)令[冬]m,mZ,则m
3、-m1,因此，nmxn(m1).由于nm,nnn(m1)N,则由(3)知，nm[x]n(m1),于是，m四m1,故[凶]m.nn取整函数或高斯函数在初等数论中的应用是基于下面两个结论x定理一：xR,nN,且1至x之间的整数中，有[―]个是n的倍数.n_x_xxxx.【证明】因[-]—[-]1,即[x]nx([-]1)n,此式说明：不大于x而是nnnnnn的倍数的正整数只有这凶个：nx1n,2n,,[-]n.n定理二：在n!中，质数p的最高方次数是P(n!)[n][乌][二]PPP【证明】由于p是质数，因此n!含p的方次数p(n!)一定是1
4、,2,…，n1,n各数中所含p的方次数的总和曲定理一知，1,2,…，n中有[2]个p的倍数，有[」2]个p2的PP倍数，…，所以p(n!)[n][」2]PP此定理说明n!pP(n!)M,其中M不含p的因数.例如，由于7(2000!)2000200072+•••=285+40+5=330,贝U2000!=73307M.可编辑精选文档n1[x][nx]n12定理三：(厄米特恒等式)xR,nN,则[x][x」][x-]nn【证法1】引入辅助函数12n2n11、f(x)[nx][x][x-][x-][x——][x——].因f(x一)nnnnn_.
5、11,.f(x)对一切xR成立，所以f(x)是一个以一为周期的周期函数，而当x[0,—]时，nn直接计算知f(x)0,故任意xR,厄米特恒等式成立.1.、n1.、【证法2】等式等价于n[x][{x}][{x}-][{x}——]n[x][n{x}].消nn去n[x]后得到与原等式一样的等式，只不过是对x[0,1),则一定存在一个k使得口xK,即(k1)nxnnk,故原式右端[nx]k1.另一方面，由"k^x上知,nnk1k1k12—x-,xnnnnn在这批不等式的右端总有一个等于「nknk[x]0,而[xnnk2kiki1,,xnnnkt1
6、1,设1,即tnk.这时，[x][x-]nn1n1”,,,।/人-][x——]1,因此原式的左端是k1个1之n和，即左端k1.故左=右.【评述】证法2的方法既适用于证明等式，也适用于证明不等式.，这个方法是：第步“弃整”，把对任意实数的问题转化为[0,1)的问题；第二步对[0,1)分段讨论.高斯函数在格点(又叫整点)问题研究中有重要应用.下面给出一个定理.定理四：设函数yf(x)在[a,b]上连续而且非负，那么和式[f(t)](t为[a,b]内的atb整数)表示平面区域axb,0yf(x)内的格点个数.特别地，有(1)位于三角形：yaxb
7、0,cxd内的格点个数等于[axb](且x为整cxd数)；(2)(p,q)1,矩形域[Q1;。,*]内的格点数等于A[qy]——.0xq/2q0yp/2P22222(3)r0,圆域xyr内的格点个数等于可编辑精选文档14[r]8[r2x2]0xr/42(2)n0,区域：x0,y0,xyn内的格点个数等于2[n][n]2.0xnx这些结论通过画图即可得到赛题精讲n1k1例1：求证：2n!n2，其中k为某一自然数.(1985年第17届加拿大数学竞赛试题)[证明]2为质数，n!中含2的方次数为2(n!)[；].t12k1若n2k1,则2(n!)
8、[2kt1][2kt1]12222k22k11n1t1t1故2n1
9、n!.反之，若n不等于2的某个非负整数次幕，可设n=2sp,其中p>1为奇数，这时总可以找出整数t,使2t2sp2t1,于是
