2015全国高中数学联赛湖南预赛试题及答案A卷.docx

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1、2015年湖南省高中数学竞赛（A卷）（2015-06-27）一、选择题（每个5分，共6题）1.将选手的9个得分去掉1个最高分，去年1个最低分，7个剩余分数的平均分为91,现场做的9个分数的茎叶图有一个数据模糊，无法辨认，在图中以x表示，则7个剩余分数的方差为6736116D.C.36A.B.779可能的最大值是r的小球，则小球半径r半径为R的球的内部装有4个有相同半径2.-D.A.B.CRRRRl552336231*的极限分a｝和｛b｝时，数列｝已知数列3.｛a｝和｛b对任意，当，都有｛nbaNnnn%,则A和B别是的大小关系不确定D.A.B.C.A和BBABBAA

2、1m,n,极坐标方程表示的不同双曲线条数为4.对所有满足的5nm1ncosC1m15D.A.6B.9C.127-J-有解的实数x5.使关于k的最大值是的不等式kx6x/『「「『「C.D.B.A.63663322的数中，不4n,4n+1,4n+2,4n+3n,形如6.设，则对任意的整数}Z,M{y

3、xyx,M是中的元素的数为4n+3D.C.B.4n+14n+24nA.分，共二、填空题（每个则该三角形的周长为：7.列,...），,...）（,，，（A31122323486题）已知三边为连续自然数的三角形的最大角是最小角的两倍,n,它的第对任一实数序列8.,定义△A为序1

4、191n92n11n）的所有项都是的值为：1,且，则，假定序列△（△项是A0满足使为纯虚数的最小正整数n=9.I口i_232个空格中，要求每一行从左到右，每个数字填在如图所示的9这…,将10.123…9固定在图中的位置时，填写空格的方法数为：4,3列从上到下分别依次增大，当.aaaa4%将M中的元素按从11.记集合T{0,1,2,3,4,5,6},T,i1,2,3,4}M{

5、a,——问7772015年数是：大到小顺序排列，则第，对于下列四个命题：12.设直线系）1（02（y2）sinxM:cos①M中所有直线均经过一个定点②存在定点P不在M中的任一条直线上③对于任意

6、整数存在正n边形，其所有边均在M中的直线上3）nn（④M中的直线所能围成的三角形面积都相等其中真命题的代号是：（写出所有真命题的代号）三、解答题（共4题，^分72分）13.（本小题满分16分）如图所示，AB为RtAABC的斜边，I为其内心，若AIAB的外接圆的半径为R,RtAABcJ"求证：.的内切圆半径为rr2）（2R14.（本小题满分16分）2222yyxx如图，A,B为椭圆（a>b>0）和双曲线的公共顶点，P、Q分别为双曲11_2222abab的动点，且满足线和椭圆上不同于A、B1）

7、R,

8、BPAP（AQBQ）（求证：（I）三点O、P、Q在同一直线上；4133

9、4122（n）若直线AP、BP、AQ、BQ的斜率分别是k、k、k、k,则k+k+k+k是定值13.(本小题满分20分)1已知整数列，满足，，对于正整数n,定义函数1a}a{a}b{bba-nnn1nn1nn22,证明：若存在某个有两个整数零点，则必有无穷多个有两bx)Xaf(X)Xf(f(X)nnnnk个整数零点。同声V展《网，所以号VaiaF丁，14.13.(本小题满分20分)x。已知，函数e(x)xa(x1),gf(x)ln0a(I)经过原点分别作曲线和的切线和。已知两切线的斜率互为倒数，)((x)xygyfll21211ee求证：a,ee(n)设，当时，恒成立

10、，试求实数a的聚会范围。1)(xxh()(xh()fx1)g0x2015年湖南省高中数学竞赛答案(A卷)BBBADC38611.10.68.8197.159.312.②③240113.I3J串小题清寸】6分】叫挥淅小♦且B为RtZ.ABC的斜3I为优内心片「■山寸的.接过的平.大夫・段1△用?「的内切帆半将的九求12证明.跟心iab中.由ll♦定理由AH、Esta_AlliI-ikt..Aftr中一国.•网工匚-:.幽内打圆半错r=AC*BC-AHi——*siMIU,Jt-■2AJJ年1linJ-I正牛TI烟为O为厚点.所以AP+^f二25.而+即=WCJQXA/■

11、附『X(巨4+甘电.故E卫儿心rIf)JQ点共找…iIhiQ

12、Li-Vii，"3・则■1t«i一i，1।所以u幽IL=理•殳①'mitaXi_adj_a”为询第八•二…一有利-n超*趣但%-mn轴库■伸m：为纪皇年力室bS61A*E：科WMBisB-«IIMe-F,IR».IIIIIilI..dd»ii-r-i»I

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