资源描述：
《数学建模实例--人口预报问题.docx》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、精品文档数学建模实例：人口预报问题1.问题人口问题是当前世界上人们最关心的问题之一.认识人口数量的变化规律，作出较准确的预报，是有效控制人口增长的前提.下面介绍两个最基本的人口模型，并利用表1给出的近两百年的美国人口统计数据，对模型做出检验，最后用它预报2000年、2010年美国人口.表1美国人口统计数据年（公元）1790180018101820183018401850人口（白力）3.95.37.29.612.917.123.2年（公元）1860187018801890190019101920人口（白力）31.438.650.262.976.
2、092.0106.5年（公元）1930194019501960197019801990人口（白力）123.2131.7150.7179.3204.0226.5251.42.指数增长模型（马尔萨斯人口模型）此模型由英国人口学家马尔萨斯（Malthus1766—1834）于1798年提出.[1]假设：人口增长率r是常数（或单位时间内人口的增长量与当时的人口成正比）.[2]建立模型：记时刻t=0时人口数为X0,时亥ijt的人口为xt，由于量大，xt可视为连续、可微函数.t至ht时间内人口的增量为:xttxt,rxtt于是xt满足微分方程：5欢在下载
3、精品文档dxrx(1)(2)dtx0x0[3]模型求解：解微分方程（1）得xtx0ert表明：t时，xt（r>0）.[4]模型的参数估计：要用模型的结果（2）来预报人口，必须对其中的参数r进行估计，这可以用表1-1的数据通过拟合得到.拟合的具体方法见本书第16章或第18章.通过表中1790-1980的数据拟合得：r=0.307.[5]模型检验：将x°=3.9,r=0.307代入公式（2）,求出用指数增长模型预测的1810-1920的人口数，见表2.表2美国实际人口与按指数增长模型计算的人口比较年（公元）实际人口（白力）指数增长模型预测人口（白
4、力）误差（%17903.918005.318107.27.31.418209.610.04.2183012.913.76.2184017.118.79.4185023.225.610.3186031.435.010.8187038.647.823.8188050.265.530.5189062.989.642.4190076.0122.561.25欢在下载精品文档191092.0167.682.11920106.5229.3115.3从表2可看出，1810-1870间的预测人口数与实际人口数吻合较好，但1880年以后的误差越来越大.分析原因，
5、该模型的结果说明人口将以指数规律无限增长.而事实上，随着人口的增加，自然资源、环境条件等因素对人口增长的限制作用越来越显著.如果当人口较少时人口的自然增长率可以看作常数的话，那么当人口增加到一定数量以后，这个增长率就要随着人口增加而减少.于是应该对指数增长模型关于人口净增长率是常数的假设进行修改.下面的模型是在修改的模型中著名的一个.3.阻滞增长模型（logistic模型）[1]假设：（a）人口增长率r为人Dxt的函数rx（减函数），最简单假定rxrsxr,s0（线性函数），r叫做固有增长率.（b）自然资源和环境条件年容纳的最大人口容量Xm.
6、[2]建立模型：r当XXm时，增长率应为0,即rXm=0,于是s1，代入rxrsxxm行：(3)将（3）式代入（1）得:模型:dxdt(4)5欢在下载精品文档x0x0[3]模型的求解:解方程组（4）得xm1冬1ert为(5)5欢在下载精品文档,、，，，dx根据方程（4）作出dxxdt曲线图，见图1,由该图可看出人口增长率随人口数的变化规律.根据结果（5）作出x-t曲线，见图2,由该图可看出人口数随时间的变化规律5欢在下载精品文档5欢在下载精品文档[4]模型的参数估计：利用表1中1790—1980的数据对r和xm拟合得：r=0.2072,4=4
7、64.[5]模型检验：将r=0.2072,xm=464代入公式（5）,求出用指数增长模型预测的1800-1990的人口数，见表3第3、4列.也可将方程（4）离散化，得x（t1）x（t）xx（t）r（1-x（^）'）x（t）t=0,1,2,…，（6）xm用公式（6）预测1800—1990的人口数，结果见表3第5、6列.表3美国实际人口与按阻滞增长模型计算的人口比较年实际人口（白力）阻滞增长模型公式（5）公式（6）预测人口（百万）（为预测人口（百万）误差（为5欢在下载精品文档17903.918005.35.90250.11373.90000.26
8、4218107.27.26140.00856.50740.096218209.68.93320.06958.68100.0957183012.910.98990.1
