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1、广东工业大学考试试卷(A)课程名称：高等数学A(1)试卷满分100分考试时间：2008年1月14日(第20周星期一)题号-一--二二三四五六七总分1234评卷得分评卷签名复核得分复核签名、填空题：(每小题4分，共20分)(X0)不存在3.(X0)不存在3.1.limx3t2e1dt极限lim的值等于(x1InxA.eB.exx22.设yy(x)是由方程y1xey所确定的隐函数，则dy3.设f(x)可导，则limf(22x)f(2)x0(X0)不存在3.(X0)不存在3.4.x(sinxe2x)dx=5.微分方程yytanxc
2、os2x满足初始条件y12的特解为二、选择题:(每小题4分,共20分)1.2.A.1设函数f(x)在xsinx0Jx在x0处连续2xk,x0B.0C.1设函数f(x)D.2则有(,则xx0处取得极值,k().(X0)不存在3.f(X0)0B.ff(X0)0或f(x°)不存在D.fA.C.(xo)D.1(X0)不存在3.4.定积分a2ax2dxaa20x2dx的值等于()•A.a2B.a2C.a24D.a225.x0为f(x)A.可去间断点x1的(2exB.无穷间断点C•跳跃间断点D.连续点二、计算题(每小题7分，共28分)
3、1.求由参数方程xy3e上所确定的函数的二阶导数2etd2ydx22•求曲线yx2(12lnx7)的凹凸区间和拐点.3.计算定积分2(x3222sinx)cosxdx.4.求微分方程y8y16ye4x的通解.x).0,且已知f(0)1,四、(8分)证明：当x0时，2xIn2(1x)2ln(1五、(8分)如果二阶可微函数f(x)满足方程：f(x)求f(x).六、(7分)设f(x)在［0,］上连续,在(0,)内可导,求证：存在(0,),使得f()f()cotx七、(9分)设D是位于曲线yxa2a(a1,0x)下方、x轴上方的无界
4、区域.(1)求区域D绕x轴旋转一周所成旋转体的体积V(a);(2)当a为何值时,V(a)最小？并求此最小值.广东工业大学考试答题纸课程名称：高等数学A（1）试卷满分100分考试时间：2008年1月14日（第20周星期一）1.e5dy2.xey3.2f（2）;sinx4.xcosx1x2_e25ysinxcosx题号-一--二二三四五六七总分1234评卷得分评卷签名复核得分复核签名一、填空题：（每小题4分，共20分）（5分）（5分）二、选择题：（每小题4分，共20分）12345BCADA三、计算题（每小题7分，共28分）dy（
5、2&）22tte（3分）1.解:dx（3e）32e2t）dt3dx42t143tee33et942t13edx（5分）dt（7分）（5分）2.解:函数的定义域为：（0,）y24x1nx2x,（1分）11y24lnx22,令y0得xe12（3分）列表讨论如下：111111x(0,e12)e乃(e12,+)y0+y凸1118e6凹(5分)11区间(0,e12]11为曲线的凸区间，区间［e12,+）为曲线的凹区间，1111曲线有拐点：(e12,18e6)（7分）2.解：因为x3cosx为［一，2】上连续的奇函数，所以2x3cosx
6、dx02(2分)2(x3222sinx)cosxdx=sin22xcosxdx202sin22xdx=1_402(1cos4x)dx(5分)1(x.in4x)24802.解：特征方程为：r28r160,特征根：r24(3分)齐次方程的通解为：Y(6C2x)e4x由于4为特征方程的二重根,且Pm(x)1故可设原方程的一个特解为：yAx2e4x(5分)将其代入原方程得：1所以y*—x2e4x,y(C—C2x)e4x四、(8分)证明：令f(x)2x2Ae4xe4x,解得：A12从而求得原方程的通解为124x—xe2ln2(1x)2
7、ln(1x),f(0)0(7分)00(2分)令：g(x)xln(1x),g(0)当x0时，g(x)J0,x(4分)所以g(x)单调增加,g(x)g(0)00(6分)f(x)单调增加,故当x0时,f(x)f(0)0,即2xln2(1x)2ln(1x)证毕(8分)因此f(x)0,0五、(8分)解：所给方程两边对x求导得:f(x)4f(x)0(1)(2分)特征方程为：r240,解之得：ri,(4分)方程(1)的通解为：f(x)C1cos2xC2sin2x⑵又f(0)1,代入⑵式得：C11,所以f(x)cos2xC2sin2x,f(
8、x)2sin2x2C2cos2x(6分)由题目所给条件知:f(0)x4f(t)dt)00,x0代入⑶得：C20,(8分)于是求得：f(x)cos2xF()F(0)0,所以由罗尔定理，至少存在一点(0,),使得：F()0(5分)又F()[f(x)sinxf(x)cosx]x所以f()sinf
