2021年新高考数学复习讲练测专题4.4 导数的综合应用 （讲）解析版.doc

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1、专题4.4导数的综合应用【考纲解读与核心素养】1.了解函数极值的概念及函数在某点取到极值的条件，会用导数求函数的极大值、极小值，会求闭区间上函数的最大值、最小值，会用导数解决某些实际问题.2．培养学生的数学抽象、数学运算、数学建模、逻辑推理、直观想象等核心数学素养.3.高考预测：（1）导数是研究函数性质的重要工具，它的突出作用是用于研究函数的单调性、极值与最值、函数的零点等．解答题难度较大，常与不等式的证明、方程等结合考查，且有综合化更强的趋势；（2）适度关注生活中的优化问题.4.备考重点：（1）熟练掌握导数公式及导数的四则运算法则是基础；（2）熟练掌

2、握利用导数研究函数的单调性、极值（最值）的基本方法，灵活运用数形结合思想、分类讨论思想、函数方程思想等，分析问题解决问题.【知识清单】1．利用导数研究函数的图象与性质函数图象的识别主要利用函数的定义域、值域、奇偶性、单调性以及函数值的符号等.解决此类问题应先观察选项的不同之处，然后根据不同之处研究函数的相关性质，进而得到正确的选项.如该题中函数解析式虽然比较复杂，但借助函数的定义域与函数的单调性很容易利用排除法得到正确选项.2．与函数零点有关的参数范围问题（1）方程有实根函数的图象与轴有交点函数有零点．（2）求极值的步骤：①先求的根（定义域内的或者定义

3、域端点的根舍去）；②分析两侧导数的符号：若左侧导数负右侧导数正，则为极小值点；若左侧导数正右侧导数负，则为极大值点.（3）求函数的单调区间、极值、最值是统一的，极值是函数的拐点，也是单调区间的划分点，而求函数的最值是在求极值的基础上，通过判断函数的大致图象，从而得到最值,大前提是要考虑函数的定义域.27/27（4）函数的零点就是的根，所以可通过解方程得零点，或者通过变形转化为两个熟悉函数图象的交点横坐标.3．与不等式恒成立、有解、无解等问题有关的参数范围问题不等式的恒成立问题和有解问题、无解问题是联系函数、方程、不等式的纽带和桥梁，也是高考的重点和热点

4、问题，往往用到的方法是依据不等式的特点，等价变形，构造函数，借助图象观察，或参变分离，转化为求函数的最值问题来处理．：4．利用导数证明、解不等式问题无论不等式的证明还是解不等式，构造函数，运用函数的思想，利用导数研究函数的性质（单调性和最值），达到解题的目的，是一成不变的思路，合理构思，善于从不同角度分析问题，是解题的法宝.【典例剖析】高频考点一：利用导数研究函数的零点或零点个数【典例1】（2020届山东省菏泽一中高三2月月考）已知函数,为的导函数.(1)求证:在上存在唯一零点;(2)求证:有且仅有两个不同的零点.【答案】(1)证明见解析;(2)证明见

5、解析.【解析】(1)设，当时，，所以在上单调递减，又因为，所以在上有唯一的零点，所以命题得证．27/27(2)①由(1)知：当时，，在上单调递增;当时，，在上单调递减;所以在上存在唯一的极大值点所以又因为所以在上恰有一个零点．又因为所以在上也恰有一个零点．②当时，，设，所以在上单调递减，所以所以当时，恒成立所以在上没有零点．③当时，设，所以在上单调递减，所以所以当时，恒成立所以在上没有零点．综上，有且仅有两个零点．【典例2】（2019·全国高考真题（理））已知函数，为的导数．证明：27/27（1）在区间存在唯一极大值点；（2）有且仅有2个零点．【答案】

6、（1）见解析；（2）见解析【解析】（1）由题意知：定义域为：且令，，在上单调递减，在上单调递减在上单调递减又，，使得当时，；时，即在上单调递增；在上单调递减则为唯一的极大值点即：在区间上存在唯一的极大值点.（2）由（1）知：，①当时，由（1）可知在上单调递增在上单调递减27/27又为在上的唯一零点②当时，在上单调递增，在上单调递减又在上单调递增，此时，不存在零点又，使得在上单调递增，在上单调递减又，在上恒成立，此时不存在零点③当时，单调递减，单调递减在上单调递减又，即，又在上单调递减在上存在唯一零点27/27④当时，，即在上不存在零点综上所述：有且仅有

7、个零点【方法技巧】利用导数研究函数零点或方程根的方法(1)通过最值(极值)判断零点个数的方法．借助导数研究函数的单调性、极值后，通过极值的正负，函数单调性判断函数图象走势，从而判断零点个数或者通过零点个数求参数范围．(2)数形结合法求解零点．对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性，画出草图数形结合确定其中参数的范围．(3)构造函数法研究函数零点．①根据条件构造某个函数，利用导数确定函数的单调区间及极值点，根据函数零点的个数寻找函数在给定区间的极值以及区间端点的函数值与0的关系，从而求解．②解决此类问题的关键是将

8、函数零点、方程的根、曲线交点相互转化，突出导数的工具作用，体现转化与化归的思想方法．【变式探究