微分几何习习题解答(曲线论).docx

微分几何习习题解答(曲线论).docx

ID:62506563

大小:75.38 KB

页数:14页

时间:2021-05-10

微分几何习习题解答(曲线论).docx_第1页
微分几何习习题解答(曲线论).docx_第2页
微分几何习习题解答(曲线论).docx_第3页
微分几何习习题解答(曲线论).docx_第4页
微分几何习习题解答(曲线论).docx_第5页
资源描述:

《微分几何习习题解答(曲线论).docx》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在行业资料-天天文库

1、欢迎阅读第一章曲线论§2向量函数5.向量函数r(t)具有固定方向的充要条件是r(t)Xr'(t)=0。分析:一个向量函数r(t)一般可以写成r(t)=■(t)e(t)的形式,其中e(t)为单位向量函数,■(t)为数量函数,那么r(t)具有固定方向的充要条件是e(t)具有固定方向,即e(t)为常向量,(因为e(t)的长度固定)。证对于向量函数r(t),设e(t)为其单位向量,则r(t)=(t)e(t),若r(t)具有固定方向,贝Ue(t)为常向量,那么r'(t)=■'(t)e,所以rXr'=±(eXe)=0。*■■I反之,若rXr'=0,对r(t)=■(t)e(t)求微商得r'=■'e+•

2、e',于是rXr'=■2(eXe')=0,则有■=0或eXe'=o。当(t)=0时,r(t)=0可与任意方向平行;当■=0时,有eXe'=0,而(exe')2=e2e'2-(ee')2=e'2,(因为e具有固定长,ee'=0),所以e'=0,即e为常向量。所以,r(t)具有固定方向。6•向量函数r(t)平行于固定平面的充要条件是(rr'r'')=0。分析:向量函数r(t)平行于固定平面的充要条件是存在一个定向向量n(t),使r(t)n=0,所以我们要寻求这个向量n及n与r',r''的关系。证若r(t)平行于一固定平面n,设n是平面n的一个单位法向量,则n为常向量,且r(t)n=0。两次求

3、微商得r'n=0,r''n=0,即向量?,r',r''垂直于同一非零向量n,因而共面,即(r'r'')=0。反之,若(rr'r'')=0,则有rXr'=0或rXr'=0。若rXr'=0,由上题知r(t)具有固定方向,自然平行于一固定平面,若rxr'=0,则存在数量函数'(t)、‘(t),使r''=t+^r'①令n=7Xr',则0,且r(t)丄n(t)。对n=rXr'求微商并将①式代入得n'=rXr''=J?Xr')=」n,于是nXn'=0,由上题知n有固定方向,而r(t)丄n,即r(t)平行于固定平面。§3曲线的概念1.求圆柱螺线x=cost,y=sint,z=t在(1,0,0)的切线和

4、法平面。页脚内容欢迎阅读解令cost=1,sint=O,t=0得t=0,r'(0)={-sint,cost,1}

5、y={0,1,1},曲线在(0,1,1)的切线为X-1=_£,法平面为y+z=0。0112.求三次曲线r二{at,bt2,ctx'■-ay)d^=9a。}在点t0的切线和法平面。解"0"叽辭,切线为譽=誉=寄,法平面为a(x-at0)2bt0(y-btf)3ct;(z-ct;)=0。3.证明圆柱螺线r={acost,asinv,bv}(-::v•::)的切线和z轴作固定角。证明二{-asi^,aca,b},设切线与z轴夹角为半,则小=誹厂占为常数,故「为定角(其中k为z轴的单

6、位向量)。4.求悬链线r={t,acosh;}(-::t::)从t=0起计算的弧长。解r'={1,sinh;},

7、r'

8、=(1+sinh2吕=cosh吕,s=cosh:dt=asinha。页脚内容欢迎阅读页脚内容欢迎阅读a9.求曲线x3=3a2y,2xz=a2在平面厂3与y=9a之间的弧长。x=3a曲线的向量表示为r={x,323;2;},曲面与两平面丁与y=9a的交点分别为x=a与2xar二{1,一2,aIr'44a44x422令,所求弧长为a2x页脚内容欢迎阅读页脚内容欢迎阅读3a10.将圆柱螺线r={acost,asintbt}化为自然参数表示。解r'={-asint,acost,

9、b},s=01r'0t=a2b2t,所以st:一a2b2代入原方程得「={心爲2・asinsbsa2b2-a2b2页脚内容欢迎阅读页脚内容欢迎阅读11.求用极坐标方程「二珥"给出的曲线的弧长表达式。解由x=:C)cosr,y=:()sin^知r'={「'(二)cos71-「L)sin71,「'L)sinh+「C)cosr},

10、r'

11、=:'2⑺宀2⑺,从比到二的曲线的弧长是s=p」2㈢"2(,)dr。§4空间曲线1求圆柱螺线x=acost,y=asint,z=bt在任意点的密切平面的方程。解r'={-asint,acost,b},r''={-acost,-asint,0}所以曲线在任意点的

12、密切平面的方程为x-acosty-asintz-bt—asintacostb=0,即(bsint)X-(bcost)y+az-abt=0.-acost-asint02.求曲线r={tsint,tcost,tet}在原点的密切平面、法平面、从切面、切线、主法线、副法线。解原点对应t=0,r'(0)={sint+tcost,cost-tsint,et+tet}^0={0,1,1},r''(0)={2cost+tcost,cost-tsi

当前文档最多预览五页,下载文档查看全文

此文档下载收益归作者所有

当前文档最多预览五页,下载文档查看全文
温馨提示:
1. 部分包含数学公式或PPT动画的文件,查看预览时可能会显示错乱或异常,文件下载后无此问题,请放心下载。
2. 本文档由用户上传,版权归属用户,天天文库负责整理代发布。如果您对本文档版权有争议请及时联系客服。
3. 下载前请仔细阅读文档内容,确认文档内容符合您的需求后进行下载,若出现内容与标题不符可向本站投诉处理。
4. 下载文档时可能由于网络波动等原因无法下载或下载错误,付费完成后未能成功下载的用户请联系客服处理。