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《微分几何习习题解答(曲线论)(20210317012722).docx》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、欢迎阅读第一章曲线论§2向量函数5.向量函数r(t)具有固定方向的充要条件是r(t)Xr'(t)=0。分析：一个向量函数r(t)一般可以写成r(t)=■(t)e(t)的形式，其中e(t)为单位向量函数，■(t)为数量函数，那么r(t)具有固定方向的充要条件是e(t)具有固定方向，即e(t)为常向量，(因为e(t)的长度固定)。证对于向量函数r(t)，设e(t)为其单位向量，则r(t)=(t)e(t)，若r(t)具有固定方向，贝Ue(t)为常向量，那么r'(t)=■'(t)e，所以rXr'=±(eXe)=0。*■■I反之，若rXr'=0，对r(t)=■(t)e(t)求微商得r'
2、=■'e+•e'，于是rXr'=■2(eXe')=0，则有■=0或eXe'=o。当(t)=0时，r(t)=0可与任意方向平行；当■=0时，有eXe'=0，而(exe')2=e2e'2-(ee')2=e'2，(因为e具有固定长，ee'=0)，所以e'=0，即e为常向量。所以，r(t)具有固定方向。6•向量函数r(t)平行于固定平面的充要条件是(rr'r'')=0。分析：向量函数r(t)平行于固定平面的充要条件是存在一个定向向量n(t)，使r(t)n=0，所以我们要寻求这个向量n及n与r'，r''的关系。证若r(t)平行于一固定平面n，设n是平面n的一个单位法向量，则n为常向量，
3、且r(t)n=0。两次求微商得r'n=0，r''n=0,即向量?，r'，r''垂直于同一非零向量n,因而共面，即(r'r'')=0。反之,若(rr'r'')=0，则有rXr'=0或rXr'=0。若rXr'=0，由上题知r(t)具有固定方向，自然平行于一固定平面，若rxr'=0，则存在数量函数'(t)、‘(t)，使r''=t+^r'①令n=7Xr'，则0，且r(t)丄n(t)。对n=rXr'求微商并将①式代入得n'=rXr''=J?Xr')=」n，于是nXn'=0，由上题知n有固定方向，而r(t)丄n，即r(t)平行于固定平面。§3曲线的概念1.求圆柱螺线x=cost，y=si
4、nt，z=t在(1,0,0)的切线和法平面。页脚内容欢迎阅读解令cost=1,sint=O,t=0得t=0,r'(0)={-sint,cost,1}
5、y={0,1,1},曲线在(0,1,1)的切线为X-1=_£，法平面为y+z=0。0112.求三次曲线r二｛at,bt2,ctx'■-ay)d^=9a。｝在点t0的切线和法平面。解"0"叽辭，切线为譽=誉=寄，法平面为a(x-at0)2bt0(y-btf)3ct；(z-ct；)=0。3.证明圆柱螺线r=｛acost,asinv,bv｝（-：：v•：：）的切线和z轴作固定角。证明二｛-asi^,aca,b｝，设切线与z轴夹角为半,
6、则小=誹厂占为常数，故「为定角（其中k为z轴的单位向量）。4.求悬链线r=｛t，acosh；｝（-：：t::）从t=0起计算的弧长。解r'={1，sinh；}，
7、r'
8、=(1+sinh2吕=cosh吕，s=cosh：dt=asinha。页脚内容欢迎阅读页脚内容欢迎阅读a9.求曲线x3=3a2y,2xz=a2在平面厂3与y=9a之间的弧长。x=3a曲线的向量表示为r=｛x,323；2；｝，曲面与两平面丁与y=9a的交点分别为x=a与2xar二{1,一2,aIr'44a44x422令,所求弧长为a2x页脚内容欢迎阅读页脚内容欢迎阅读3a10.将圆柱螺线r={acost,asint
9、bt｝化为自然参数表示。解r'={-asint,acost,b}，s=01r'0t=a2b2t，所以st：一a2b2代入原方程得「=｛心爲2・asinsbsa2b2-a2b2页脚内容欢迎阅读页脚内容欢迎阅读11.求用极坐标方程「二珥"给出的曲线的弧长表达式。解由x=：C）cosr,y=：（）sin^知r'=｛「'（二）cos71-「L）sin71,「'L）sinh+「C）cosr｝,
10、r'
11、=：'2⑺宀2⑺，从比到二的曲线的弧长是s=p」2㈢"2（，）dr。§4空间曲线1求圆柱螺线x=acost,y=asint,z=bt在任意点的密切平面的方程。解r'={-asint,aco
12、st,b},r''={-acost，-asint,0}所以曲线在任意点的密切平面的方程为x-acosty-asintz-bt—asintacostb=0,即(bsint)X-(bcost)y+az-abt=0.-acost-asint02.求曲线r={tsint,tcost,tet}在原点的密切平面、法平面、从切面、切线、主法线、副法线。解原点对应t=0,r'(0)={sint+tcost,cost-tsint,et+tet}^0={0,1,1}，r''(0)={2cost+tcost,cost-tsi
