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1、精品文档定积分与微积分基本定理复习讲义河南省卢氏县第一高级中学山永峰［备考方向要明了］考什么怎么考1.了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念.2.了解微积分基本定理的含义.1.考查形式多为选择题或填空题.2.考查简单定积分的求解.3.考查曲边梯形面积的求解.4.与几何概型相结合考查.［归纳•知识整合］1.定积分⑴定积分的相关概念：在/；f(x)dx中，a,b分别叫做积分下限与积分上限，区间［a,b］叫做积分区间，f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式.(2)定积分的几何意义①当函数f(x)在区间［a,b］上恒为
2、正时，定积分/f(x)dx的几何意义是由直线x=a,x=b(a^b),y=0和曲线y=f(x)所围成的曲边梯形的面积(左图中阴影部分).②一般情况下，定积分/af(x)dx的几何意义是介于x轴、曲线f(x)以及直线x=a,x=b之间的曲边梯形面积的代数和(右上图中阴影所示)，其中在x轴上方的面积等于该区间上的积分值，在x轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数.⑶定积分的基本性质：①/；kf(x)dx=k/bf(x)dx.②/b［fi(x)±f2(x)］dx=/bfi(x)dx±/af2(x)dx.③/bf(x)dx=/cf(x)dx+/Cf(x)dx.［
3、探究］1.若积分变量为t，则/f(x)dx与/f(t)dt是否相等？提示：相等.2.一个函数的导数是唯一的，反过来导函数的原函数唯一吗？提示：一个函数的导数是唯一的，而导函数的原函数则有无穷多个，这些原函数之间都相差一个常数，在利用微积分基本定理求定积分时，只要找到被积函数的一个原函数即可，并且一般使用不含常数的原函数，这样有利于计算.3.定积分/a【f(x)-g(x)］dx(f(x)>g(x))的几何意义是什么？提示：由直线x=a,x=b和曲线y=f(x),y=g(x)所围成的曲边梯形的面积.13欢迎下载精品文档2•微积分基本定理：如果f(x)是区间［
4、a,b］上的连续函数，并且F'(x)=f(x)，那么/bf(x)dx13欢迎下载精品文档=F(b)—Ra)，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿一莱布尼兹公式.为了方便,常把F(b)—F(a)记成F(x)
5、a，即/f(x)dx=F(x)
6、；=F(b)—F(a).课前预测：11./2xdx等于()A.2ln2B.—2ln2C.—In2D.In22.(教材习题改编)一质点运动时速度和时间的关系为V(t)=t2—t+2,质点作直线运动,则此物体在时间［1,2］内的位移为()A.17B.14C.136D.1113欢迎下载精品文档23.(教材习题改编)直线x=0
7、,x=2,y=0与曲线y=x所围成的曲边梯形的面积为4.(教材改编题)/1屮—x2dx=.5.由y=-,直线y=—x+刁所围成的圭寸闭图形的面积为x2考点一利用微积分基本定理求定积分［例1］利用微积分基本定理求下列定积分：(1)/?(x2+2x+1)dx;(2)/n(sinx—cosx)dx；⑸02sin2
8、dx.222x,1⑶/ox(x+1)dx;(4)/1e+—dx;x［方淸・规律］求定积分的一般步骤：(1)把被积函数变形为幕函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的积的和或差;(2)把定积分用定积分性质变形为求被积函数为上述函数的定积分；(3)分别
9、用求导公式找到一个相应的原函数；(4)利用牛顿一莱布尼兹公式求出各个定积分的值；(5)计算原始定积分的值.强化训练：1.求下列定积分：(1)/0
10、x—1
11、dx;(2)01—sin2xdx.考点二利用定积分的几何意义求定积分［例2］/0寸—x2+2xdx=.变式：在本例中，改变积分上限，求/0—x2+2xdx的值.
12、賁论'■糾朗T利用几何意义求定积分的方法(1)当被积函数较为复杂，定积分很难直接求出时，可考虑用定积分的几何意义求定积分.(2)利用定积分的几何意义，可通过图形中面积的大小关系来比较定积分值的大小.强化训练：1.(2014•福建模拟)已知函数f
13、(x)=/0(cost—sint)dt(x>0)，贝Uf(x)的最大值为13欢迎下载精品文档考点三：利用定积分求平面图形的面积13欢迎下载精品文档［例3］(2014•山东高考)由曲线y=x，直线y=x—2及y轴所围成的图形的面积为()103B.4C.1^D.613欢迎下载精品文档13欢迎下载精品文档变式训练:若将“y=x—2”改为“y=—x+2”，将“y轴”改为“x轴”，如何求解?利用定积分求曲边梯形面积的步骤(1)画出曲线的草图.(2)借助图形，确定被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限.(3)将“曲边梯形”的面积表示成若干个定积分的和或差.(4)
14、计算定积分，写出答案.强化训练：(2014•郑州模拟)如图，曲线y=x2和直线x
