非常好的定积分与微积分基本定理复习讲义

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1、定积分与微积分基本定理复习讲义[备考方向要明了]考什么怎么考1.了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念．2.了解微积分基本定理的含义.1.考查形式多为选择题或填空题．2.考查简单定积分的求解．3.考查曲边梯形面积的求解．4.与几何概型相结合考查．[归纳·知识整合]1．定积分(1)定积分的相关概念：在f(x)dx中，a，b分别叫做积分下限与积分上限，区间[a，b]叫做积分区间，f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式．(2)定积分的几何意义①当函数f(x)在区间[a，b]上恒为正时，定积分f(x)dx的几何意义是由直线x＝a，x＝b(

2、a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积(左图中阴影部分)．②一般情况下，定积分f(x)dx的几何意义是介于x轴、曲线f(x)以及直线x＝a，x＝b之间的曲边梯形面积的代数和(右上图中阴影所示)，其中在x轴上方的面积等于该区间上的积分值，在x14轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数．(3)定积分的基本性质：①kf(x)dx＝kf(x)dx.②[f1(x)±f2(x)]dx＝f1(x)dx±f2(x)dx.③f(x)dx＝f(x)dx＋f(x)dx.[探究]　1.若积分变量为t，则f(x)dx与f(t)dt是否相等？提示：相等．2．一个函数的导数是唯一的，反

3、过来导函数的原函数唯一吗？提示：一个函数的导数是唯一的，而导函数的原函数则有无穷多个，这些原函数之间都相差一个常数，在利用微积分基本定理求定积分时，只要找到被积函数的一个原函数即可，并且一般使用不含常数的原函数，这样有利于计算．3．定积分[f(x)－g(x)]dx(f(x)>g(x))的几何意义是什么？提示：由直线x＝a，x＝b和曲线y＝f(x)，y＝g(x)所围成的曲边梯形的面积．2．微积分基本定理：如果f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且F′(x)＝f(x)，那么f(x)dx＝F(b)－F(a)，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼兹公式．为了方便，常把

4、F(b)－F(a)记成F(x)，即f(x)dx＝F(x)＝F(b)－F(a)．课前预测：1.dx等于(　　)A．2ln2　　B．－2ln2C．－ln2D．ln22．(教材习题改编)一质点运动时速度和时间的关系为V(t)＝t2－t＋2，质点作直线运动，则此物体在时间[1,2]内的位移为(　　)14A.B.C.D.3．(教材习题改编)直线x＝0，x＝2，y＝0与曲线y＝x2所围成的曲边梯形的面积为________．4．(教材改编题)dx＝________.5．由y＝，直线y＝－x＋所围成的封闭图形的面积为________考点一利用微积分基本定理求定积分[例1]　利用微积分基本定

5、理求下列定积分：(1)(x2＋2x＋1)dx；(2)(sinx－cosx)dx；(3)x(x＋1)dx；(4)dx；　(5)sin2dx.———————————————————求定积分的一般步骤：(1)把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的积的和或差；(2)把定积分用定积分性质变形为求被积函数为上述函数的定积分；(3)分别用求导公式找到一个相应的原函数；(4)利用牛顿—莱布尼兹公式求出各个定积分的值；(5)计算原始定积分的值．强化训练：1．求下列定积分：(1)

6、x－1

7、dx；(2)dx.考点二利用定积分的几何意义求定积分14[例2]　dx＝______

8、__.变式：在本例中，改变积分上限，求dx的值．　———————————————————利用几何意义求定积分的方法(1)当被积函数较为复杂，定积分很难直接求出时，可考虑用定积分的几何意义求定积分．(2)利用定积分的几何意义，可通过图形中面积的大小关系来比较定积分值的大小．强化训练：2．(2014·福建模拟)已知函数f(x)＝(cost－sint)dt(x>0)，则f(x)的最大值为________．考点三：利用定积分求平面图形的面积　　[例3]　(2014·山东高考)由曲线y＝，直线y＝x－2及y轴所围成的图形的面积为(　　)A.　　　B．4　　　C.D．6变式训练：若将“

9、y＝x－2”改为“y＝－x＋2”，将“y轴”改为“x轴”，如何求解？———————————————————利用定积分求曲边梯形面积的步骤(1)画出曲线的草图．(2)借助图形，确定被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限．14(3)将“曲边梯形”的面积表示成若干个定积分的和或差．(4)计算定积分，写出答案．强化训练：3．(2014·郑州模拟)如图，曲线y＝x2和直线x＝0，x＝1，y＝所围成的图形(阴影部分)的面积为(　　)A.　　　B.　　　C.　　D.考点四：定积分在物理中的应用[例4]　列车以72km/h的速