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1、GMM估计中文讲义2线性模型yiXiixii!x2i2iE（Xii）0Xii是k1,X2i是r1,lkr。如果没有其他约束，的渐进有效估计量是OLS估计。现在假设给定一个信息20,我们可以把模型写为，yixiiii，E（Xii）0如何估计1?一种就是OLS估计。然而这种方法不是必然有效的，当在E（Xii）0方程中有I个约束，然而i的维数kI，这种情况称为过渡识别。这里有rlk比自由参数多的矩约束，我们称r是过渡约束识别个数。让g（y,z,x,）是I1个方程，参数为k1，且kI，有Eg（yi,z,Xi,0）0（1）0是的真实值，在上面线性模型中有
2、g（y,X,）X（yX1）。在计量经济学里，这类模型称为矩条件模型。在统计学中，这称为估计方程。另外，我们还有一个线性矩条件模型，yiz1i，e（xi）oz和Xi的维数都是k1，且有I1，kI，如果kI则模型是恰好识别，否则是过渡识别。变量Zi是Xi的一部分或是Xi的函数。模型（1）可以设置为，g(yi,Z,Xi,0)X(yz)（2）GMM估计模型（2）样本均值为—1n1n1gn()gi()Xi(yiz)_(Xyxz)（3）ni1ni1n的矩估计量就是设置9n()0。对于kI个方程大于参数的情形，GMM估计思想就是设置gn（）近可能的接近于零。
3、对于II加权矩阵Wn0，让Jn()ngn()Wngn()这是向量gn()长度的非负测度。例如，如果WnI，则有Jn()ngn()gn()n
4、
5、gn()『。GMM估计就是最小化Jn()，即定义gmmargJn()。注意，如果kI，则gn(?)0，GMM估计就是矩估计方法。GMM估计的一阶条件为j(?)110n2—gn()Wn©n()2ZXW^X(yZ?)nn2(ZX)Wn(XZ)?2(ZX)WnXy则的GMM估计为Gmm((ZX)Wn(XZ))1(ZX)WnXyGMM估计量的分布假设WnPW>0，2令QE(XiZj和E(XKi)E(gigi)这里
6、giXii，则丄ZX1Wn-XZpQWQnn11-ZXWn-XpQWN(0,)nn定理1:.N(?)dN(0,V)V(QWQ)1(QWWQ)(QWQ)1为了使V最小，最优加权矩阵Wo1(证明留作练习)。这产生了最有效的GMM估计量：?Gmm(ZX1XZ)1ZX1Xy这时，我们有定理2：对于有效的GMM估计量，,"N(?)dN(0,(Q1Q)1)实际上W01是未知的，但它能一致估计。对于任何WnPW°，我们仍然称？是有效的GMM估计量，且有相同的渐进分布。有效即意味着GMM估计量有最小的渐进方差。当我们只考虑加权矩阵Wn，这是弱有效概念。然而Ga
7、ryChamberlain(1987)证明这个GMM估计量是半参数有效的有效加权矩阵估计对于给定的Wn>0，?的GMM估计量是一致但不是有效的，例如Wn=I
8、。在线性模型，1一个较好的选择是Wn=(XX)。给定第一步估计量，我们定义残差？yZi，矩方程g(y,Z,X,?)，构造9n9n(?)gn定义Wngigin©g©ngni1那么有Wn-1=W0，使用Wn得到的GMM估计量是渐进有效的。一个替代性选择是Wn1，使用非中心化的矩条件。因为Egi0，这两种估计量在正确的假设下是渐进相等的。然而,AlastairHall(2000)指出非中心化估计
9、量是较差的选择。当构造假设检验，备择假设下的矩条件是无效的，如Egi0，所以非中心化的估1Wn=(XX)，使用此计量包含着偏误项，以及对检验势的影响。对于线性模型，有效的GMM估计量可以这样计算，首先，设置加权矩阵估计？，构造残差？yizi?，矩方程？xi?g(yi,z,x,?)。则gmm估计为?ZX(ggngn9n)1XZ1ZX(ggn応)刈在多数例子中，当我们说"GMM”时，其实我们就意味着是"有效GMM”。当有效估计量比较容易计算时，有一点需要注意就是我们在使用非有效的GMM估计量。?的渐进方差估计量为，V?nZX(ggngngn)1XZ
10、1刚才给出的两阶段GMM估计的一个重要替代估计方法，是L.Hansen,HeatonandYaron(1996)的continuously-updatedGMM估计。即我们让加权矩阵是的函数，则矩条件方程是，gn()J()ngn()-ngi()gi()ni1gi()g()gn()定理3:在一般规则条件下，."N(?)dN(0,(G111G))，(EQgJ)，。/的方差由()1估计，)nig：g：，gn1)gi()。i过度识别检验gnpEgi，gn可以用来评价Egi0假设是否正确。根据有效加权矩阵Wn的表达式，参数估计量的准则函数是，JngnWg
11、nn2gn(ggngngn)1gn过度识别的J检验是，JJ(?)d
