切比雪夫滤波器设计(20201209221553).docx

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1、切比雪夫滤波器设计巴特沃斯滤波器的频率特性曲线，无论在通带内还是阻带内都是频率的单调函数。因此,当通带的边界处满足指标要求时，通带内肯定会有裕量。所以，更有效的设计方法应该是将精确度均匀的分布在整个通带或阻带内，或者同时分布在两者之内。这样就可用较低阶数的系统满足要求。这可通过选择具有等波纹特性的逼近函数来达到。H(j)」H(j)

2、(b图1切比雪夫I型滤波器的振幅特性(a)N=3,2dB通带波纹的切比雪夫振幅特性(b)N=4,2dB通带波纹的切比雪夫振幅特性

3、H(j)N为奇数$(j)

4、N为偶数图2切比雪夫II型滤波器的振幅特14(b切比雪夫滤波器的振幅特T生就具有这种等

5、波纹特1•生。是等波纹的，在阻带内是单调的称为切比雪夫I型滤波器；振幅特性在通带内是单调的‘它有两种类型：振幅特性在通带内在阻带内是等波纹的称为切比雪夫II型滤波器。采用何种形式的切比雪夫滤波器取决于实际用途。图1和图2分别画出了N为奇数、偶数时的切比雪夫1、切比雪夫I型滤波器的基本特点I'II型滤波器的频率特性。a2()H(j)21°N现在介绍切比雪夫I型滤波器的设计，切比雪夫归一化滤波器的幅度平方函数为为小于1的正数，表示通带内振幅波动的程度。越大，波动也越大。/p为对截止频率P的归一化频率5P为截止频率，也是滤波器的通带带宽(注：切比雪夫滤波器的通带带宽并不一定是

6、3dB带宽)。Cn(X)是N阶切比雪夫多项式'定义为其中COS1(x)为反余弦函数;定义如下所示cos(Ncosx)0x1Cn(X1)ch(Nchx)ch(x)为双曲余弦函数；chi(x)为反双曲余弦函数；它们的chx—ch1(x)arcch(x)ln(xx21)上式可展开为多项式的形式如表1所示：由表1可归纳出各阶切比雪夫多项式的递推公式为Cn1(x)2xCn(X)Cn1(x)图3示出了N=0,4，5时切比雪夫多项式的特性。由图3可见：NCn(X)011X22x21334x3x48x48x21表1切比雪夫多项式2当x

7、CN(X)1，且具有等波纹幅度特性。Cn(

8、X)是双曲余弦函数，随着调增加。再看函数2厂/、20°N(X),是小于1的实数，Cn(X)的值在x1之内，将在2220至之间改变。而1Cn(X)的函数值在X1之内，将在2至1之间改变。然后将192Cn(X)取倒数，即可得切比雪夫型滤波器幅度平方函数。2根据以上所述，在1的区间外，1H(j)在接近1处振荡，其最x而单Cn(x)图3切比雪夫多项式曲线大值为1，最小值为增大,2<5n()?1,贝yH(j)很快接近于零。图5・7画出了切比雪夫I型滤波器振幅特性曲线‘从中可以看出：振幅特性H(j)的起伏为1:上’因少⑴「所以在J1时，H(j)r，即切比雪夫I型滤波器的截止频率并不

9、对应41r3dB的衰减。1切比雪夫多项式的零值在0x1的间隔内。2、切比雪夫I型滤波器设计方法要确定切比雪夫滤波器的幅度平方函数，需要确定三个参数：何确定这三个参N。下面研究如数，具体步骤如下：(1)将实际频率归一化得再根据已知的ps，幅度平方函数

10、H(j)

11、212cn(确定代入(2)确定和定义通带波纹(即通带衰减(以分贝为单位)为:ioig2l0ig22Cn(H(jioigioig2cN(P)22SN心22Cn(p)10p1022Cn(s)2ch2Nch1(s)因为P1'CN(1)1,所以1O10其中ch2Nch1(s)chla)chJ)1O1011O101这样可以求

12、出和N,其中ch1(x)inx.x21o10%110P7t13、综上所述，设计切比雪夫低通滤波器的基本步骤如下:(1)计算归一化频率(1)根据通带波纹(通带衰减)Pdb，按照210斋1式计算；(2)根据阻带起始频率s，阻带衰减s和。按照N式计算滤波器的阶数N;(4)根据滤波器阶数N,查表得归一化原型切比雪夫滤波器系统函数H(p)；根据H(p)1的低频特性求出待定系数do，注：当N为偶数时，H(0):;当N为奇数时，H(0)1°!2(5)去掉归一化影响根据截止频率p‘按照H(s)H(p)p卫式计算切比雪夫滤波P器的系统函数H(s)；s0.5rad/s，阻4、举例说明已知通

13、带波纹为ldb，截止频率p0.3rad/s，阻带截止频率带衰减大于15db，试设计满足上述性能指标的切比雪夫I型低通滤波器。解：已知pO.3，p1dB，s0.5，s15dB(1)计算归一化频率pP1，ss1.6667。p(2)计算。p210而110°.110.2589(3)计算滤波器的阶数N;1O101

14、101°P11015110。川28757ch1(a)ch1(s)1需)2.8013选定N=3。H(P);(4)根据滤波器阶数N,查表得归一化原型切比雪夫滤波器系统函数H(P)p0.9883p1.2384p0.4913因为当N为奇数时‘H