切比雪夫滤波器设计

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1、第十七讲3.切比雪夫滤波器的设计方法4.模拟滤波器的频率变换-----模拟高通、带通、带阻滤波器的设计3.Chebyshev低通滤波器的设计方法Chebyshev低通滤波器的幅度平方函数Chebyshev低通滤波器幅度平方函数特点Chebyshev低通滤波器的三个参量Chebyshev低通滤波器幅度平方函数的极点分布Chebyshev低通滤波器的设计步骤提出的背景巴特沃斯滤波器的频率特性曲线，无论在通带和阻带都是频率的单调函数。因此．当通带边界处满足指标要求时，通带内肯定会有余量。因此，更有效的设计方法应该是将精确度均匀地

2、分布在整个通带内，或者均匀分布在整个阻带内，或者同时分布在两者之内。这样，就可用阶数较低的系统满足要求。这可通过选择具有等波纹特性的逼近函数来达到。1）Chebyshev低通滤波器的幅度平方函数ChebyshevΙ型滤波器的幅度平方函数（续）当N=0时，C0(x)=1；当N=1时，C1(x)=x；当N=2时，C2(x)=2x2-1；当N=3时，C3(x)=4x3-3x。由此可归纳出高阶切比雪夫多项式的递推公式为CN+1(x)=2xCN(x)-CN-1(x)前两项给出后才能迭代下一个Chebyshev多项式的特性N=0,4,

3、5切比雪夫多项式曲线N的影响：N越大阻带衰减越快阶数N影响过渡带的带宽，同时也影响通带内波动的疏密，因为N等于通带内最大值与最小值的总个数2）Chebyshev低通滤波器幅度平方函数特点：通带外：迅速单调下降趋向0N为偶数N为奇数通带内：在1和间等波纹起伏切比雪夫Ⅰ型与巴特沃斯低通的幅度函数平方曲线3）Chebyshev低通滤波器的三个参量：：通带截止频率，给定：表征通带内波纹大小由通带衰减决定设阻带的起始点频率(阻带截止频率)用Ωs表示，在Ωs处的A2(Ωs)为：令λs=Ωs/Ωp，由λs>1，有可以解出滤波器阶数N的确

4、定3dB截止频率Ωc的确定按照(6.2.19)式，有通常取λc>1，因此上式中仅取正号，得到3dB截止频率计算公式：令书上该公式有错4）Chebyshev低通滤波器幅度平方函数的极点分布以上Ωp,ε和N确定后，可以求出滤波器的极点，并确定Ha(p)，p=s/Ωp。有用的结果:设Ha(s)的极点为si=σi+jΩi，可以证明：上式是一个椭圆方程，因为ch(x)大于sh(x)，长半轴为Ωpchξ(在虚轴上)，短半轴为Ωpshξ(在实轴上)。令bΩp和aΩp分别表示长半轴和短半轴，可推导出：(6.2.29)(6.2.30)(6.

5、2.31)因此切比雪夫滤波器的极点就是一组分布在长半轴为bΩp，短半轴为aΩp的椭圆上的点。设N=3，平方幅度函数的极点分布如图6.2.8所示(极点用X表示)。为稳定，用左半平面的极点构成Ha(p)，即(6.2.32)式中c是待定系数。根据幅度平方函数(6.2.19)式可导出：c=ε·2N-1，代入(6.2.32)式，得到归一化的传输函数为(6.2.33a)去归一化后的传输函数为图6.2.8三阶切比雪夫滤波器的极点分布5）Chebyshev低通滤波器的设计步骤:归一化：1）确定技术指标：2)根据技术指标求出滤波器阶数N及：

6、其中：3）求出归一化系统函数：或者由N和，直接查表得其中极点由下式求出：4）去归一化例6.2.2设计低通切比雪夫滤波器，要求通带截止频率fp=3kHz，通带最大衰减αp=0.1dB，阻带截止频率fs=12kHz，阻带最小衰减αs=60dB。解(1)滤波器的技术指标：(2)求阶数N和ε：此过程可直接查表(3)求归一化系统函数Ha(p):由(6.2.38)式求出N=5时的极点pi，代入上式，得到：(4)将Ha(p)去归一化，得到：此过程也可直接查表完成小结：模拟滤波器设计的步骤通带截止频率、通带衰减阻带截止频率、阻带衰减确定滤

7、波器的技术指标：将模拟滤波器的技术指标设计转化为低通原型滤波器的参数Butterworth低通滤波器Chebyshev低通滤波器构造归一化低通原型滤波器的系统函数反归一4.模拟滤波器的频率变换----模拟高通、带通、带阻滤波器的设计高通、带通和带阻滤波器的传输函数可以通过频率变换，分别由低通滤波器的传输函数求得，因此不论设计哪一种滤波器，都可以先将该滤波器的技术指标转换为低通滤波器的技术指标，按照该技术指标先设计低通滤波器，在通过频率变换，将低通的传输函数转换成所需类型的滤波器传输函数。符号规定归一化模拟低通模拟高通、带通

8、、带阻模拟域频带变换1)低通到高通的频率变换λ和η之间的关系为低通到高通的频率变换关系为模拟高通滤波器的设计步骤如下：(1)确定高通滤波器的技术指标：(2)确定相应低通滤波器的设计指标：按照式,将高通滤波器的边界频率转换成低通滤波器的边界频率，各项设计指标为：①低通滤波器通带截止频率；②低通滤波器阻带截