2020年高考数学学霸纠错笔记：平面向量.docx

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1、2020年高考数学学霸纠错笔记：平面向量忽略了零向量的特殊性给出下列命题：①向量的长度与向量的长度相等.②向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反.③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同.④零向量与任意数的乘积都为零.其中不正确命题的序号是.【错解】④【错因分析】解决向量的概念问题要注意两点：一是不仅要考虑向量的大小，更重要的是要考虑向量的方向；二是考虑零向量是否也满足条件．要特别注意零向量的特殊性．【试题解析】①与是相反向量、模相等，正确；②由零向量的方向是任意的且与任意向量平行，不正确；③相等向量大小相等、方

2、向相同，又起点相同，则终点相同，正确；④零向量与任意数的乘积都为零向量，不正确，故不正确命题的序号是②④.【参考答案】②④解决向量的概念问题应关注六点：（1）正确理解向量的相关概念及其含义是解题的关键.（2）相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性.（3）共线向量即平行向量，它们均与起点无关.相等向量不仅模相等，而且方向要相同，所以相等向量一定是平行向量，而平行向量则未必是相等向量.（4）向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量.解题时，不要把它与函数图象移动混为一谈.（5）非零向量a与的关系：是a方向上的单

3、位向量.（6）向量与数量不同，数量可以比较大小，向量则不能，但向量的模是非负实数，故可以比较大小.1．下列说法正确的是A．若与都是单位向量，则=B．若=，则

4、

5、=

6、

7、且与的方向相同C．若+=0，则

8、

9、=

10、

11、D．若=0，则与是相反向量【答案】C【解析】因为向量相等必须满足模相等且方向相同，所以A不正确;因为0的方向是任意的，当时，B不正确;因为，所以，所以，故C正确;因为，所以，与不是相反向量，故D不正确.所以选C.【名师点睛】本小题主要考查两个向量相等的充要条件，即大小和方向均相同.还考查了零向量的概念，零向量长度为零

12、，方向任意.属于基础题.忽视平行四边形的多样性失误已知平行四边形三个顶点的坐标分别为（－1，0），（3，0），（1，－5），求第四个顶点的坐标.【错解】设A（－1，0），B（3，0），C（1，－5），D（x，y），∵四边形ABCD为平行四边形，∴=，又∵=（4，0），=（1－x，－5－y），∴，解得x=－3，y=－5，∴第四个顶点的坐标为（－3，－5）.【错因分析】此题的错解原因为思维定势，错误的认为平行四边形只有一种情形，在解题思路中出现了漏解.实际上，题目的条件中只给出了平行四边形的三个顶点，并没有给出相应的顺序，

13、故可能有三种不同的情形.【试题解析】如图所示，设A（－1，0），B（3，0），C（1，－5），D（x，y）.①若四边形ABCD1为平行四边形，则=，而=（x＋1，y），=（－2，－5）.由=，得，∴，∴D1（－3，－5）.②若四边形ACD2B为平行四边形，则=.而=（4，0），=（x－1，y＋5）.∴，∴，∴D2（5，－5）.③若四边形ACBD3为平行四边形，则=.而=（x＋1，y），=（2，5），∴，∴，∴D3（1，5）.综上所述，平行四边形第四个顶点的坐标为（－3，－5）或（5，－5）或（1，5）.1．要注意点的坐

14、标和向量的坐标之间的关系，向量的终点坐标减去起点坐标就是向量坐标，当向量的起点是原点时，其终点坐标就是向量坐标．2．向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的相对位置有关系．两个相等的向量，无论起点在什么位置，它们的坐标都是相同的．3．若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件不能表示成＝，因为x2，y2有可能等于0，所以应表示为x1y2－x2y1＝0.2．已知为四边形所在的平面内的一点，且向量，，，满足等式，若点为的中点，则A．B．C．D．【答案】B【解析】∵向量，，，满足等式，∴，即，则四边形为

15、平行四边形，∵为的中点，∴为对角线与的交点，则，则，故选：B．忽视两向量夹角的范围已知向量（1）若为锐角，求的取值范围；（2）当时，求的值.【错解】（1）若为锐角，则且不同向.，∴.（2）由题意，可得，又，，即，解得或.【错因分析】（1）利用向量夹角公式即可得出，注意去掉同方向情况；（2）利用向量垂直与数量积的关系即可得出．.【试题解析】（1）若为锐角，则且不同向.，∴.当时，同向,.即若为锐角，的取值范围是{x

16、且}.（2）由题意，可得，又，，即，解得或.【参考答案】（1）{x

17、且}；（2）或.1.两向量的夹角是指当

18、两向量的起点相同时，表示两向量的有向线段所形成的角，若起点不同，应通过移动，使其起点相同，再观察夹角．2.两向量夹角的范围为[0，π]，特别地当两向量共线且同向时，其夹角为0，共线且反向时，其夹角为π.3.在利用向量的数量积求两向量的夹角时，一定要注意两向量夹角的范围．3．已知向量，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围为A．B．C