2020年高考数学母题题源全揭秘专题12 对数函数（山东、海南专版）（原卷版）.docx

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1、专题12对数函数【母题题文】信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量X所有可能的取值为，且，定义X的信息熵.A．若n=1，则H(X)=0B．若n=2，则H(X)随着的增大而增大C．若，则H(X)随着n的增大而增大D．若n=2m，随机变量Y所有可能的取值为，且，则H(X)≤H(Y)【答案】AC【试题解析】对于A选项，若，则，所以，所以A选项正确.对于B选项，若，则，，所以，当时，，当时，，两者相等，所以B选项错误.对于C选项，若，则，则随着的增大而增大，所以C选项正确.对于D选项，若，随机变量的所有可能的取值为，且（）..由于，所以，所以，所以，所以，所以D选项错误.故选AC.【

2、命题意图】高考对本部分内容的考查主要是对数式的大小比较，以能力为主，重点考查函数的单调性及其函数图象．主要体现在以下几个方面：（1）掌握对数的运算.（2）理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用.（3）理解对数函数的概念，理解对数函数的单调性.【命题方向】高考通常以考查指数、对数的运算以及指数、对数函数的图象与性质的应用为主，多以指数、对数函数为载体，查函数值的大小比较及单调性．此外，指数、对数函数的图象及应用也常有出现，一般以选择题或填空题的形式呈现，难度一般不大，解题时熟练掌握指数、对数的运算性质与运算法则及其图

3、象与性质，注意分类讨论、数形结合及转化与化归思想的运用.【方法总结】（一）常用的指对数变换公式：（1）；（2），；（3）；（4）换底公式：，进而有两个推论：（令），．（二）比较幂的大小的常用方法：（1）对于底数相同，指数不同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数的单调性来判断；（2）对于底数不同，指数相同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数图象的变化规律来判断；（3）对于底数不同，且指数也不同的幂的大小比较，可先化为同底的两个幂，或者通过中间值来比较．（三）比较对数式的大小：（1）若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行判断；若底数为同一字母，则需对底数进行分类讨论，即a＞

4、1时是增函数，0＜a＜1时是减函数，当对数底数为变量时，要分情况对底数进行讨论来比较两个对数的大小；（2）若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较；（3）若底数与真数都不同，则常借助1,0等中间量进行比较．在具体比较时，可以首先将它们与零比较，分出正负；正数通常再与1比较分出大于1还是小于1，然后在各类中间两两相比较，另外若题中既有对数式又有指数式，也常用中间量比较大小．（四）解指数、对数方程或不等式：（1）简单的指数方程或不等式的求解问题．解决此类问题应利用指数函数的单调性，要特别注意底数a的取值范围，并在必要时进行分类讨论．（2）①形如的不等式，借助的单

5、调性求解，如果a的取值不确定，需分与两种情况讨论；②形如的不等式，需先将b化为以a为底的对数式的形式，再借助的单调性求解．（五）快速判断对数的符号：八字真言“同区间正，异区间负”.判断对数的符号，关键看底数和真数，区间分为和.（1）如果底数和真数均在中，或者均在中，那么对数的值为正数；（2）如果底数和真数一个在中，一个在中，那么对数的值为负数.例如：等（六）比较大小的两个理念：（1）求同存异：如果两个指数（或对数）的底数相同，则可通过真数的大小与指对数函数的单调性，判断出指数（或对数）的关系，要熟练运用公式，尽量将比较的对象转化为某一部分相同的情况.例如：，比较时可进行转化，尽管

6、底数难以转化为同底，但指数可以变为相同，，从而只需比较底数的大小即可.（2）利用特殊值作“中间量”：在指对数中通常可优先选择“”对所比较的数进行划分，然后再进行比较，有时可以简化比较的步骤（在兵法上可称为“分割包围，各个击破”，也有一些题目需要选择特殊的常数对所比较的数的值进行估计，例如，可知，进而可估计是一个1点几的数，从而便于比较.总之，比较数式的大小，若同底，考虑指数函数（或对数函数）；若同指，则考虑幂函数，再利用函数的单调性比较大小；若不同底，也不同指，则其基本方法是“同底法”，即把不同底的对数式化为同底的对数式，然后根据单调性来解决，或者利用中间量法．1．（2021·四

7、川省泸州高级中学校月考）已知，，，则（）．A．B．C．D．2．（2020·江苏淮安·高三月考）已知，则下列不等式一定成立的是（）A．B．C．D．3．（2020·河南郑州·高三月考）太阳是位于太阳系中心的恒星，其质量大约是千克.地球是太阳系八大行星之一，其质量大约是千克.下列各数中与最接近的是（）（参考数据：，）A．B．C．D．4．（2020·云南师大附中高三月考）下列四个命题：①，②，③，④，其中真命题为（）A．①②③B．①③C．①②④D．③④5．（2020·广东高三月考）人们通